Một bài tối thứ 7.
Bài toán: cho $x,y,z$ là các số dương thỏa mãn $xy+yz+zx=3$. Chứng minh
$3\left ( x+y+z \right )+xyz\geq 10$
$3\left ( x+y+z \right )+xyz\geq 10$
Bắt đầu bởi tim1nuathatlac, 14-09-2013 - 22:46
#2
Đã gửi 14-09-2013 - 23:22
Phạm Hữu Bảo Chung
-
- Thành viên
-
- 1360 Bài viết
Thượng úy
Giải
Đặt $x + y + z = p; xy + yz + zx = q$ và $xyz = r$.
Theo giả thiết: $q = 3 \Rightarrow r \leq \sqrt{\dfrac{q^3}{27}} = 1$
Ta có:
$(x^3 + y^3 + z^3)(x + y + z) \geq (x^2 + y^2 + z^2)^2$
$\Rightarrow (p^3 - 3pq + 3r)p \geq (p^2 - 2q)^2 \Leftrightarrow p^2q + 3pr \geq 4q^2$
$\Leftrightarrow 3p^2 + 3pr - 36 \geq 0 \Leftrightarrow p^2 + pr - 12 \geq 0 \, (1)$
Vì $x, y, z > 0$ nên $p, r > 0$. Vì vậy, từ (1), suy ra: $p \geq \dfrac{\sqrt{r^2 + 48} - r}{2}$
Vậy, ta cần chứng minh: $\dfrac{\sqrt{r^2 + 48} - r}{2} \geq \dfrac{10 - r}{3} \Leftrightarrow 3\sqrt{r^2 + 48} \geq r + 20$
$\Leftrightarrow r^2 - 5r + 4 \geq 0 \Leftrightarrow (r - 1)(r - 4) \geq 0$
BĐT trên đúng với $r \leq 1$. Vậy, ta có điều phải chứng minh.
- Lugiahooh, tim1nuathatlac, sieu dao chich và 2 người khác yêu thích
Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế 
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
