Một bài tối thứ 7.
Bài toán: cho $x,y,z$ là các số dương thỏa mãn $xy+yz+zx=3$. Chứng minh
$3\left ( x+y+z \right )+xyz\geq 10$
Một bài tối thứ 7.
Bài toán: cho $x,y,z$ là các số dương thỏa mãn $xy+yz+zx=3$. Chứng minh
$3\left ( x+y+z \right )+xyz\geq 10$
Giải
Đặt $x + y + z = p; xy + yz + zx = q$ và $xyz = r$.
Theo giả thiết: $q = 3 \Rightarrow r \leq \sqrt{\dfrac{q^3}{27}} = 1$
Ta có:
$(x^3 + y^3 + z^3)(x + y + z) \geq (x^2 + y^2 + z^2)^2$
$\Rightarrow (p^3 - 3pq + 3r)p \geq (p^2 - 2q)^2 \Leftrightarrow p^2q + 3pr \geq 4q^2$
$\Leftrightarrow 3p^2 + 3pr - 36 \geq 0 \Leftrightarrow p^2 + pr - 12 \geq 0 \, (1)$
Vì $x, y, z > 0$ nên $p, r > 0$. Vì vậy, từ (1), suy ra: $p \geq \dfrac{\sqrt{r^2 + 48} - r}{2}$
Vậy, ta cần chứng minh: $\dfrac{\sqrt{r^2 + 48} - r}{2} \geq \dfrac{10 - r}{3} \Leftrightarrow 3\sqrt{r^2 + 48} \geq r + 20$
$\Leftrightarrow r^2 - 5r + 4 \geq 0 \Leftrightarrow (r - 1)(r - 4) \geq 0$
BĐT trên đúng với $r \leq 1$. Vậy, ta có điều phải chứng minh.
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh