cho x;y >o và x+y=2. CMR: $x^2y^2(x^2+y^2)<2$ hoẶC =2
bat dang thuc co si ung dung
Started By muamuaha125, 14-09-2013 - 22:52
-
This topic is locked
#2
Posted 14-09-2013 - 22:57
Near Ryuzaki
-
- Thành viên
-
- 804 posts
$\mathbb{NKT}$
cho x;y >o và x+y=2. CMR: $x^2y^2(x^2+y^2)<2$ hoẶC =2
Lời giải:
$xy(x^2+y^2)=\frac{1}{2}2xy(x^2+y^2)\leq\frac{1}{2} \frac{(2xy+x^2+y^2)^2}{4}=2$
=> đpcm
Dấu bằng xảy ra khi x=y=1
Edited by sieusieu90, 14-09-2013 - 23:00.
- ILMBVMF, muamuaha125, nghiemthanhbach and 1 other like this
#3
Posted 14-09-2013 - 23:00
letankhang
-
- Thành viên
-
- 1079 posts
$\sqrt{MF}'s$ $member$
cho x;y >o và x+y=2. CMR: $x^2y^2(x^2+y^2)<2$ hoẶC =2
Ta có :
$2xy(x^{2}+y^{2})\leq \frac{(x+y)^{4}}{4}\Rightarrow xy(x^{2}+y^{2})\leq \frac{(x+y)^{4}}{8}=2$
$xy\leq \frac{(x+y)^{2}}{4}=1$
$\Rightarrow x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq 2$
Edited by letankhang, 14-09-2013 - 23:01.
- ILMBVMF, muamuaha125 and 4869mnsk like this
$\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $
$\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$
#4
Posted 14-09-2013 - 23:12
thuan192
-
- Thành viên
-
- 325 posts
Sĩ quan
Chúng ta có thể tổng quát hóa bài toán:Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn x+y=2 và hằng số k thuộc Z .CMR
$x^{k}y^{k}\left ( x^{k}+y^{k} \right )\leq 2$
- LNH, nhatquangsin and muamuaha125 like this
Thuận
#5
Posted 15-09-2013 - 15:26
Trang Luong
-
- Thành viên
-
- 1834 posts
Đại úy
cho x;y >o và x+y=2. CMR: $x^2y^2(x^2+y^2)<2$ hoẶC =2
$x^2y^2\left ( x^2+y^2 \right )=xy.xy.\left ( x^2+y^2 \right )=\frac{1}{2}xy.2xy\left ( x^2+y^2 \right )\leq \frac{1}{8}(x+y)^2.\left ( \frac{(x+y)^2}{2} \right )^2=\frac{1}{2}.4=2$
- LNH, nguyentrungphuc26041999, S2Taphuongmai and 1 other like this
"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton
Issac Newton
#6
Posted 15-09-2013 - 21:40
nghiemthanhbach
-
- Thành viên
-
- 1056 posts
$\sqrt{MF}'s\;friend$
bài này trong bài giảng của thầy Hồng Trí Quang
Bài giải
Ta nhận thấy vai trò của x và y là như nhau cả và $x+y=2$ nên phán đoán rằng $x=y=1$
tách VT thành: $\Leftrightarrow xy\frac{1}{2}2xy(x^2+y^2)\leq 2$
Ta có:
$xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}$ $\wedge$ $2xy(x^2+y^2)\leq \frac{(x^2+y^2+2xy)}{4}$ (Bất đẳng thức Cauchy nghịch)
đến đây bạn rút gọn sẽ ra điều phải chứng minh
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users
