Chủ đề này có 3 trả lời

[muamuaha125]

Cho a; b; c >0 và a+b+c=1. CMR: $\frac{a+bc}{b+c}+\frac{b+ca}{c+a}+\frac{c+ab}{a+b}\geq 2$

 

[Hoang Tung 126]

Ta có:$\sum \frac{a+bc}{b+c}=\sum \frac{a.(a+b+c)+bc}{b+c}=\sum \frac{(a+b)(a+c)}{b+c}$. Đặt $\left ( a+b \right )=x,(b+c)=y,(c+a)=z.$. Ta có bđt quen thuộc :$\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{yz}{x}\geq x+y+z$ nên $\sum \frac{(a+b)(a+c)}{b+c}\geq 2(a+b+c)=2$ hay $\sum \frac{a+bc}{b+c}\geq 2$ . Dấu = xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

[Messi10597]

Ta có: $a+bc=a(a+b+c)+bc=(a+b)(a+c)$

Tương tự ta có: $b+ca=(b+c)(b+a)$

                          $c+ab=(c+a)(c+b)$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 

   $\frac{(a+b)(a+c)}{b+c}+\frac{(b+c)(b+a)}{c+a}\geq 2(a+b)$

   $\frac{(b+c)(b+a)}{c+a}+\frac{(c+a)(c+b)}{a+b}\geq 2(b+c)$

   $\frac{(a+b)(a+c)}{b+c}+\frac{(c+a)(c+b)}{a+b}\geq 2(a+c)$

Cộng các BĐT trên lại ta đc: 

$\frac{a+bc}{b+c}+\frac{b+ca}{c+a}+\frac{c+ab}{a+b}\geq 2(a+b+c)=2$

[nghiemthanhbach]

nhân 1 cho tử số phần tử đầu tiên sẽ tạo ra nhân tư : $(a+b)(a+c)$

làm tương tự như trên cho những phân số còn lại rồi sử dụng $\sum$