Chủ đề này có 1 trả lời

[sonnguyenquang]

cho x,y$\epsilon R$ $x+y-1=\sqrt{2x-4}+\sqrt{y+1}$. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏnhấtt của biểu thức $S=(x+y)^{2}-\sqrt{9-x-y}+\frac{1}{^{\sqrt{x+y}}}$

mọi người giúp em làm theo cách Đạo Hàm được không ạ

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải

Theo giả thiết, ta có: $x + y - 1 \geq 0 \Leftrightarrow x + y \geq 1$

Mặt khác, ta có:

$x + y - 1 = \sqrt{2x - 4} + \sqrt{y + 1} = \sqrt{2(x - 2)} + \sqrt{1(y + 1)}$

 

$\leq \dfrac{x}{2} + \dfrac{y + 2}{2} = \dfrac{x + y + 2}{2} \Leftrightarrow x + y \leq 4$

 

Đặt $x + y = t$ với $t \in [1; 4]$, ta có:
$P = f(t) = t^2 - \sqrt{9 - t} + \dfrac{1}{\sqrt{t}}$

Có $f’(t) = 2t + \dfrac{1}{2\sqrt{9 - t}} - \dfrac{1}{2t\sqrt{t}}$

Với $t \in [1; 4]$ thì $f’(t) > 0$

Vậy, hàm đồng biến trên [1; 4]. Suy ra: $f(1) \leq f(x) \leq f(4)$

 

Khi đó:
$Min_P = 2 - 2\sqrt{2}$ khi $x = 2; y = -1$

$Max_P = \dfrac{33 - 2\sqrt{5}}{2}$ khi $x = 4; y = 0$