Cho x,y,z>0 thoả mãn $x^2+y^2+z^2= 1$
Tìm $\max P = xy + yz + xz +\frac{1}{2}[x^2(y-z)^2 + y^2(z-x)^2 + z^2(x-y)^2]$
Tìm $\max P = xy + yz + xz +\frac{1}{2}[x^2(y-z)^2 + y^2(z-x)^2 + z^2(x-y)^2]$
Started By Simpson Joe Donald, 16-09-2013 - 14:40
#1
Posted 16-09-2013 - 14:40
Simpson Joe Donald
-
- Thành viên
-
- 293 posts
Thượng sĩ
Câu nói bất hủ nhất của Joker :
Joker để dao vào mồm Gambol nói : Mày muốn biết vì sao tao có những vết sẹo trên mặt hay không ? Ông già tao là .............. 1 con sâu rượu, một con quỷ dữ. Và một đêm nọ , hắn trở nên điên loạn hơn bình thường . Mẹ tao vớ lấy con dao làm bếp để tự vệ . Hắn không thích thế ... không một chút nào . Vậy là tao chứng kiến ... cảnh hắn cầm con dao đi tới chỗ bà ấy , vừa chém xối xả vừa cười lớn . Hắn quay về phía tao và nói ... "Sao mày phải nghiêm túc?". Hắn thọc con dao vào miệng tao. "Hãy đặt nụ cười lên khuôn mặt nó nhé". Và ... "Sao mày phải nghiêm túc như vậy ?"
#2
Posted 16-09-2013 - 21:42
nghiemthanhbach
-
- Thành viên
-
- 1056 posts
$\sqrt{MF}'s\;friend$
Ta có:
$\sum xy\leq \sum x^2=1$
ta có:
$\sum x^2(y-z)^2\leq \sum \frac{(x^2+(y-z)^2)^2}{4}=\sum \frac{(1-2yz)^2}{4}\leq \frac{(\sum x)^2}{4.3}=\frac{1+\sum xy}{12}\leq \frac{1+1}{12}$
vì bất đẳng thức Cauchy ngược và bất đẳng thức $\sum a^2\geq \sum ab$
Vậy max là $\frac{2}{12}=6$
Hình như là vậy, thích thì like ngay nhé bạn 
#3
Posted 17-09-2013 - 15:06
nghiemthanhbach
-
- Thành viên
-
- 1056 posts
$\sqrt{MF}'s\;friend$
Dễ dàng chứng minh được: $\sum xy\leq \sum x^2=1$
Ta có:
$\sum x^2(y-z)^2\leq \sum \frac{\sum x^2-2yz}{4}$ (Cauchy ngược dấu) $= \sum \frac{1-2yz}{4}=\frac{3-2(\sum xy)}{4}\leq \frac{3-2\sum x^2}{4}= \frac{3-2}{4}=0.25$
Chủ yếu là sử dụng cauchy
Nhờ like mình nhé
Edited by nghiemthanhbach, 17-09-2013 - 15:07.
- letankhang, bangbang1412, trandaiduongbg and 2 others like this
#4
Posted 12-04-2021 - 11:59
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 posts
Đại úy
Ta có: $xy+yz+zx+\frac{1}{2}[x^2(y-z)^2+y^2(z-x)^2+z^2(x-y)^2]=xy+yz+zx+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 -x^2yz-xy^2z-xyz^2=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+yz(1-x^2)+zx(1-y^2)+xy(1-z^2)=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+yz(y^2+z^2)+zx(z^2+x^2)+xy(x^2+y^2)\leqslant x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+\frac{y^2+z^2}{2}(y^2+z^2)+\frac{z^2+x^2}{2}(z^2+x^2)+\frac{x^2+y^2}{2}(x^2+y^2)=\frac{2(x^4+y^4+x^4+2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2))}{2}= \frac{2(x^2+y^2+z^2)^2}{2}=1$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$ hoặc $x=y=z=-\frac{1}{\sqrt{3}}$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users
