Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \left ( 3+3y+y^{2} \right )x^{3}=3y^{2} & & \\ \left ( 3+3z+z^{2} \right )y^{3}=3z^{2}& & \\ \left ( 3+3x+x^{2} \right )z^{3}=3x^{2}& & \end{matrix}\right.$
Edited by hachinh2013, 17-09-2013 - 19:19.
Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \left ( 3+3y+y^{2} \right )x^{3}=3y^{2} & & \\ \left ( 3+3z+z^{2} \right )y^{3}=3z^{2}& & \\ \left ( 3+3x+x^{2} \right )z^{3}=3x^{2}& & \end{matrix}\right.$
Edited by hachinh2013, 17-09-2013 - 19:19.
Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \left ( 3+3y+y^{2} \right )x^{3}=3y^{2} & & \\ \left ( 3+3z+z^{2} \right )y^{3}=3z^{2}& & \\ \left ( 3+3x+x^{2} \right )z^{3}=3x^{2}& & \end{matrix}\right.$
*Nhận xét rằng $(0;0;0)$ là 1 nghiệm của hệ
*Nếu $x,y,z\neq 0$. Từ phương trình suy ra $x,y,z>0$
Xét 2 hàm số: $f(t)=\frac{3t^2}{t^2+3t+3}$
$g(u)=u^3$
Hệ trở thành: $\left\{\begin{matrix}g(x)=f(y) & \\ g(y)=f(z) & \\ g(z)=f(x) & \end{matrix}\right.$
Mà $f'(t)=\frac{9t^2+18t}{(t^2+3t+3)^2}>0$
$g'(u)=3u^2>0$
$\Rightarrow f(t)$ và $g(u)$ đồng biến trên $\mathbb{R}^+$
Giả sử $x\geq y\geq z$.
$y\geq z\Leftrightarrow g(y)\geq g(z)\Leftrightarrow f(z)\geq f(x)\Leftrightarrow z\geq x$
$\Rightarrow x=y=z$
Thay vào (1): $x(x^2+3x+3)=3\Leftrightarrow x^3+3x^2+3x-3=0$
Đến đây là được rồi
$h(x)=x^3+3x^2+3x-3=0$ (*)
$\Leftrightarrow (x+1)^3-4=0\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{4}-1$
P.s: Mới nghĩ ra, không ngờ nó dơn giản hơn mình nghĩ
Edited by Primary, 17-09-2013 - 20:24.
Giải theo chương trình cấp THCS Anh ạ
Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \left ( 3+3y+y^{2} \right )x^{3}=3y^{2} & & \\ \left ( 3+3z+z^{2} \right )y^{3}=3z^{2}& & \\ \left ( 3+3x+x^{2} \right )z^{3}=3x^{2}& & \end{matrix}\right.$
Hệ $\left\{\begin{matrix}\frac{1}{y^2}+\frac{1}{y}+\frac{1}{3}=\frac{1}{x^3} & & & \\ \frac{1}{z^2}+\frac{1}{z}+\frac{1}{3}=\frac{1}{y^3} & & & \\ \frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}+\frac{1}{3}=\frac{1}{z^3} & & & \end{matrix}\right.$
Đặt $\frac{1}{x}=a,$ $\frac{1}{y}=b,$ $\frac{1}{z}=c$ với $a,b,c>0$
Thay vào hệ, bạn làm như trên và xét hàm số bằng phương pháp của THCS
0 members, 1 guests, 0 anonymous users