1 reply to this topic

[vitconvuitinh]

$\left\{\begin{matrix} ax^2+bx+c &= &0 \\ bx^2+cx+a& =& 26\\ cx^2+ax+b & = &-26 \end{matrix}\right. (a,b,c\neq 0)$

Tìm các số nguyên a,b,c để hệ có nghiệm nguyên

[PT42]

Giả sử hệ có nghiệm nguyên $x_{0}$ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} ax_{0}^{2} + bx_{0} + c = 0 (1)\\bx_{0}^{2} + cx_{0} + a = 26 (2) \\cx_{0}^{2} + ax_{0} + b = -26 (3) \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (a + b + c)(x_{0}^{2} + x_{0} + 1) = 0$

Mà $x_{0}^{2} + x_{0} + 1 = (x_{0} + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} > 0$ nên suy ra a + b + c = 0.

Thay vào (1) ta có $ax_{0}^{2} + bx_{0} - (a + b) = 0$

$\Rightarrow (x_{0} - 1)(ax_{0} + a + b) = 0$

$\Rightarrow$ $x_{0} = 1$ hoặc $x_{0} = -\frac{a + b}{a}$

Mà b + c + a = 0 $\neq$ 26 nên 1 không phải nghiệm của (2) $\Rightarrow x_{0} = -\frac{a + b}{a} = -1 - \frac{b}{a}$ $\epsilon \mathbb{Z}$

$\Rightarrow$ b = ka với k $\epsilon \mathbb{Z}$ $\Rightarrow$ c = -(a +b) = -(k +1)a và $x_{0} = -(1 + k) $

Thay vào (2) ta có :

$ka.(k + 1)^{2} + (k +1)^{2}.a + a = 26$

$\Rightarrow a.((k + 1)^{3} + 1) = 26$

$\Rightarrow (k + 1)^{3} + 1$ là ước của 26 $\Rightarrow (k + 1)^{3} + 1$ = 1, -1, 2, -2, 13, -13, 26 hoặc-26.

$\Rightarrow$ Để k nguyên thì $(k +1)^{3} + 1$ = 1, 2 hoặc -26 $\Rightarrow$ k = -1, 0 hoặc -4.

Mà b = ka $\neq$ 0 nên k $\neq$ 0 $\Rightarrow$ k = -1 hoặc k = -4

 

- Nếu k = -1 thì $\left\{\begin{matrix} a = \frac{26}{1} = 26\\b = 26.(-1) = -26 \\c = -(26 - 26) = 0 \end{matrix}\right.$ (loại)

- Nếu k = -4 thì $x_{0} = -(1 + k) = 3$ và $\left\{\begin{matrix} a = \frac{26}{-26} = -1\\b = -4.(-1) = 4 \\c = -(-1 + 4) = -3 \end{matrix}\right.$

Thử lại :

$ax^{2} + bx + c = -x^{2} + 4x -3 = 0$ $\Leftrightarrow (x -1)(x - 3) = 0$

$bx^{2} + cx + a - 26 = 4x^{2} - 3x - 27 = 0$ $\Leftrightarrow (x - 3)(4x + 9) = 0$

$cx^{2} + ax + b + 26 = -3x^{2} -x + 30 = 0$ $\Leftrightarrow (x - 3)(3x + 10) = 0$

Cả 3 phương trình đều có nghiệm nguyên $x_{0} = 3$ (thỏa mãn).

Vậy a = -1, b = 4, c = -3

Edited by PT42, 19-09-2013 - 11:20.