Bài toán trên được phát triển dựa trên bài này: Cho $S_a=S_{\Delta{MBC}},S_b=S_{\Delta{MAC}},S_c=S_{\Delta{MAB}}$
Chứng minh rằng: $S_a.\overrightarrow{MA}+S_b.\overrightarrow{MB}+S_c.\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$
Chứng minh:
Xét $\Delta MBC$, ta có: $\overrightarrow{MA'}=\frac{A'B}{BC}.\overrightarrow{MC}+\frac{A'C}{BC}.\overrightarrow{MB}$
Ta có: $S_{\Delta MA'B}=\frac{1}{2}MH.A'B$ và $S_{\Delta MA'C}=\frac{1}{2}MH.A'C$
$\Rightarrow \frac{S_{Delta MA'C}}{S_{\Delta MA'B}}=\frac{A'C}{A'B}$
Tương tự: $\frac{A'C}{A'B}=\frac{S_{\Delta AA'C}}{S_{\Delta AA'B}}=\frac{S_{\Delta MA'C}}{S_{\Delta MA'B}}=\frac{S_{\Delta AA'C}-S_{\Delta MA'C}}{S_{\Delta AA'B}-S_{\Delta MA'B}}=\frac{S_{\Delta MAC}}{S_{\Delta MAB}}=\frac{S_b}{S_c}$
$\frac{A'C}{BC}=\frac{S_b}{S_b+S_c}$
Ta có: $\frac{A'C}{A'B}=\frac{S_b}{S_c}\Rightarrow \frac{A'C}{A'C+A'C+A'B}=\frac{S_b}{S_b+S_c}$
Tương tự: $\frac{A'B}{BC}=\frac{S_c}{S_b+S_c}$
$\Rightarrow \overrightarrow{MA}=\frac{S_c}{S_b+S_c}.\overrightarrow{MC}+\frac{S_b}{S_b+S_c}.\overrightarrow{MB}=\frac{-S_c}{S_b+S_c}.\overrightarrow{MA}$
Vì $\frac{\overrightarrow{MA'}}{\overrightarrow{MA}}=\frac{S_{MA'B}}{S_{MAB}}=\frac{S_{MA'C}}{S_{MAC}}=\frac{S_a}{S_b+S_c}$
Và vì $\overrightarrow{MA'}$ ngược hướng $\overrightarrow{MA}$
$\Rightarrow \frac{-S_a}{S_b+S_c}.\overrightarrow{MA}=\frac{S_c}{S_b+S_c}.\overrightarrow{MC}=\frac{S_b}{S_b+S_c}.\overrightarrow{MB}$
$\Rightarrow đpcm$