Chủ đề này có 2 trả lời

[AnnieSally]

Cho tứ giác $ABCD,$ điểm $M$ nằm trong tứ giác $ABCD.$ Chứng minh rằng:

$S_{\Delta MAB}.\overrightarrow{MA}+S_{\Delta MBC}.\overrightarrow{MB}+S_{\Delta MDC}.\overrightarrow{MC}+S_{\Delta MAD}.\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}$

 

(Nếu đẳng thức trên không thể bằng $0$ thì điều kiện của $M$ để đẳng thức trên bằng $0$ là gì?)

 

Bài toán trên được phát triển dựa trên bài này: Cho $S_a=S_{\Delta{MBC}},S_b=S_{\Delta{MAC}},S_c=S_{\Delta{MAB}}$

Chứng minh rằng: $S_a.\overrightarrow{MA}+S_b.\overrightarrow{MB}+S_c.\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$

 

Chứng minh:

 

Xét $\Delta MBC$, ta có: $\overrightarrow{MA'}=\frac{A'B}{BC}.\overrightarrow{MC}+\frac{A'C}{BC}.\overrightarrow{MB}$

Ta có: $S_{\Delta MA'B}=\frac{1}{2}MH.A'B$ và $S_{\Delta MA'C}=\frac{1}{2}MH.A'C$

$\Rightarrow \frac{S_{Delta MA'C}}{S_{\Delta MA'B}}=\frac{A'C}{A'B}$

Tương tự: $\frac{A'C}{A'B}=\frac{S_{\Delta AA'C}}{S_{\Delta AA'B}}=\frac{S_{\Delta MA'C}}{S_{\Delta MA'B}}=\frac{S_{\Delta AA'C}-S_{\Delta MA'C}}{S_{\Delta AA'B}-S_{\Delta MA'B}}=\frac{S_{\Delta MAC}}{S_{\Delta MAB}}=\frac{S_b}{S_c}$

 

$\frac{A'C}{BC}=\frac{S_b}{S_b+S_c}$

Ta có: $\frac{A'C}{A'B}=\frac{S_b}{S_c}\Rightarrow \frac{A'C}{A'C+A'C+A'B}=\frac{S_b}{S_b+S_c}$

Tương tự: $\frac{A'B}{BC}=\frac{S_c}{S_b+S_c}$

$\Rightarrow \overrightarrow{MA}=\frac{S_c}{S_b+S_c}.\overrightarrow{MC}+\frac{S_b}{S_b+S_c}.\overrightarrow{MB}=\frac{-S_c}{S_b+S_c}.\overrightarrow{MA}$

Vì $\frac{\overrightarrow{MA'}}{\overrightarrow{MA}}=\frac{S_{MA'B}}{S_{MAB}}=\frac{S_{MA'C}}{S_{MAC}}=\frac{S_a}{S_b+S_c}$ 

Và vì $\overrightarrow{MA'}$ ngược hướng $\overrightarrow{MA}$

$\Rightarrow \frac{-S_a}{S_b+S_c}.\overrightarrow{MA}=\frac{S_c}{S_b+S_c}.\overrightarrow{MC}=\frac{S_b}{S_b+S_c}.\overrightarrow{MB}$

$\Rightarrow đpcm$

 

Nếu có thể xin tổng quát bài toán

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnnieSally: 20-09-2013 - 11:48

[duongtoi]

Đáp án ở đây nhé, một cách làm khác khá hay.

https://www.facebook...&type=1

[AnnieSally]

Đáp án ở đây nhé, một cách làm khác khá hay.

https://www.facebook...&type=1

Đề là tứ giác mà bác, làm ơn xem kĩ đề

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnnieSally: 20-09-2013 - 16:02