Chủ đề này có 3 trả lời

[Bui Van Hung]

Bài 1: Cho $(O,R)$ và 1 hình chữ nhật nội tiếp $(O)$. Tỉ số 2 cạnh liên tiếp của hình chữ nhat là $k$. Tính diện tích hình chữ nhật theo $R$ và $k$? Với giá trị nào của $k$ thì diện tích lớn nhất?

Bài 2: Cho nửa đường tròn đường kính $PQ=2R$. Xét hình vuông $ABCD$ có $A;B\epsilon PQ$; $C;D\epsilon$ nửa đường tròn. Tính cạnh hình vuông theo $R$?

Bài 3: Cho hình thoi $ABCD$. Đường tròn đi qua $ABC$ có bán kính $=a$ và đường tròn đi qua $ABD$ có bán kính $=b$. Tính độ dài đường chéo hình thoi?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 19-09-2013 - 16:15

[canhhoang30011999]

 
Bài 2: Cho nửa đường tròn đường kính $PQ=2R$. Xét hình vuông $ABCD$ có $A;B\epsilon PQ$; $C;D\epsilon$ nửa đường tròn. Tính cạnh hình vuông theo $R$?

 

nối OC,OD

$\bigtriangleup DAO= \bigtriangleup CBO$(ch.cgv)

$\Rightarrow AO=OB= a$$\Rightarrow AB= 2a$

áp dụng định lị pytago cho DAO ta có

$AD^{2}+AO^{2}= OD^{2}$

$\Rightarrow a^{2}+4a^{2}= r^{2}$

$\Rightarrow AB= \frac{2\sqrt{5}r}{5}$

$\Rightarrow a= \frac{\sqrt{5}r}{5}$

[duongtoi]

Bài 1: Cho $(O,R)$ và 1 hình chữ nhật nội tiếp $(O)$. Tỉ số 2 cạnh liên tiếp của hình chữ nhat là $k$. Tính diện tích hình chữ nhật theo $R$ và $k$? Với giá trị nào của $k$ thì diện tích lớn nhất?

Đơn giản nhất là cứ đặt ẩn đi.

Đặt độ dài hai cạnh liên tiếp hình chữ nhật là $x$ và $y$.

Ta có $x=ky$ và $x^2+y^2=4R^2$ (Hình chữ nhật nội tiếp nên đường chéo chính là đường kính).

Suy ra, $y^2(k^2+1)=4R^2$.

Vậy $S=xy=ky^2=\frac{4kR^2}{k^2+1}$.

Áp dụng BDT Cauchy ta có $k^2+1\ge 2k$.

Nên $S\le 2R^2$.

Vậy khi $k=1$ (Hình vuông) thì diện tích hcn lớn nhất.

[duongtoi]

Bài 3: Cũng nên đặt ẩn.

Giả sử góc $B$ tù.

Đặt hai đường chéo là $BD=2x;AC=2y$.

Ta có $a\ge x;b\le y$

Gọi $I,J$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp $ABC$ và $ABD$.

Ta có, $OI=IB-OB=a-x;OJ=OA-JA=y-b$.

Mặt khác, ta có $OI^2=IC^2-OC^2=a^2-y^2$ và $OJ^2=JB^2-OB^2=b^2-x^2$.

Suy ra, ta có hệ $\left\{\begin{matrix} (a-x)^2=a^2-y^2\\ (y-b)^2=b^2-x^2\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+y^2-2ax=0\\ x^2+y^2-2by=0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} ax=by\\ x^2+y^2-2by=0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} ax=by\\ y^2(\frac{b^2}{a^2}+1)-2by=0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=\frac{2a^2b}{a^2+b^2}\\ x=\frac{2ab^2}{a^2+b^2} \end{matrix}\right.$

Vậy độ dài hai đường chéo là $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} AC=\frac{4a^2b}{a^2+b^2}\\ BD=\frac{4ab^2}{a^2+b^2} \end{matrix}\right.$