Chủ đề này có 5 trả lời

[huou202]

Tìm đa thức P(x) thỏa mãn $p(x)+p(1)=\frac{1}{2}[p(x+1)+p(x-1)]$.

 

[perfectstrong]

Lời giải:

\[
\begin{array}{l}
 P\left( x \right) + P\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\left[ {P\left( {x + 1} \right) + P\left( {x - 1} \right)} \right] \\
  \Leftrightarrow P\left( x \right) - P\left( {x - 1} \right) + 2P\left( 1 \right) = P\left( {x + 1} \right) - P\left( x \right) \\
 \end{array}
\]
Đặt $Q(x)=P(x)-P(x-1)$ thì ta được $Q(x)+2P(1)=Q(x+1)$.

Đặt $Q(x)=H(x)+2P(1)x$ thì ta được\[
\begin{array}{l}
 H\left( x \right) + 2P\left( 1 \right)x + 2P\left( 1 \right) = H\left( {x + 1} \right) + 2P\left( 1 \right)\left( {x + 1} \right) \\
  \Rightarrow H\left( x \right) = H\left( {x + 1} \right),\forall x \\
 \end{array}
\]
Từ đây ta có $H \equiv b$: hằng số. Đặt $a=2P(1)$. Thì ta có $Q(x)=ax+b=P(x)-P(x-1)$.

Đặt $P\left( x \right) = R\left( x \right) + \frac{a}{2}x^2  + \left( {b + \frac{a}{2}} \right)x$.

Ta có:

\[
\begin{array}{l}
 R\left( x \right) + \frac{a}{2}x^2  + \left( {b + \frac{a}{2}} \right)x = R\left( {x - 1} \right) + \frac{a}{2}\left( {x - 1} \right)^2  + \left( {b + \frac{a}{2}} \right)\left( {x - 1} \right) + ax + b \\
  \Leftrightarrow R\left( x \right) = R\left( {x - 1} \right) \\
 \end{array}
\]
Do đó $R \equiv c:$ hằng số. Vì thế

\[
P\left( x \right) = \frac{a}{2}x^2  + \left( {b + \frac{a}{2}} \right)x + c
\]

Thay $x=1$ thì ta có $\frac{a}{2} = \frac{a}{2} + \left( {b + \frac{a}{2}} \right) + c \Rightarrow c =  - b - \frac{a}{2}$

Vậy\[
P\left( x \right) = \frac{a}{2}x^2  + \left( {b + \frac{a}{2}} \right)x - b - \frac{a}{2}
\]

Thử lại: $P(1)=\dfrac{a}{2}$

\[
\begin{array}{rcl}
 P\left( {x + 1} \right) + P\left( {x - 1} \right) &=& \frac{a}{2}\left[ {\left( {x + 1} \right)^2  + \left( {x - 1} \right)^2 } \right] + \left( {b + \frac{a}{2}} \right)\left[ {\left( {x + 1} \right) + \left( {x - 1} \right)} \right] - 2b - a \\
  &=& ax^2  + \left( {2b + a} \right)x - 2b \\
  \Rightarrow \frac{1}{2}\left[ {P\left( {x + 1} \right) + P\left( {x - 1} \right)} \right] &=& P\left( x \right) + P\left( 1 \right) \\
 \end{array}
\]

Kết luận: \[
P\left( x \right) = \frac{a}{2}x^2  + \left( {b + \frac{a}{2}} \right)x - b - \frac{a}{2}
\]
Trong đó $a,b$ là 2 số thực bất kì.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 21-09-2013 - 22:59

[Juliel]

Lời giải:

\[
\begin{array}{l}
 P\left( x \right) + P\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\left[ {P\left( {x + 1} \right) + P\left( {x - 1} \right)} \right] \\
  \Leftrightarrow P\left( x \right) - P\left( {x - 1} \right) + 2P\left( 1 \right) = P\left( {x + 1} \right) - P\left( x \right) \\
 \end{array}
\]
Đặt $Q(x)=P(x)-P(x-1)$ thì ta được $Q(x)+2P(1)=Q(x+1)$.

Đặt $Q(x)=H(x)+2P(1)x$ thì ta được\[
\begin{array}{l}
 H\left( x \right) + 2P\left( 1 \right)x + 2P\left( 1 \right) = H\left( {x + 1} \right) + 2P\left( 1 \right)\left( {x + 1} \right) \\
  \Rightarrow H\left( x \right) = H\left( {x + 1} \right),\forall x \\
 \end{array}
\]
Từ đây ta có $H \equiv b$: hằng số. Đặt $a=2P(1)$. Thì ta có $Q(x)=ax+b=P(x)-P(x-1)$.

Đặt $P\left( x \right) = R\left( x \right) + \frac{a}{2}x^2  + \left( {b + \frac{a}{2}} \right)x$.

Ta có:

\[
\begin{array}{l}
 R\left( x \right) + \frac{a}{2}x^2  + \left( {b + \frac{a}{2}} \right)x = R\left( {x - 1} \right) + \frac{a}{2}\left( {x - 1} \right)^2  + \left( {b + \frac{a}{2}} \right)\left( {x - 1} \right) + ax + b \\
  \Leftrightarrow R\left( x \right) = R\left( {x - 1} \right) \\
 \end{array}
\]
Do đó $R \equiv c:$ hằng số. Vì thế

\[
P\left( x \right) = \frac{a}{2}x^2  + \left( {b + \frac{a}{2}} \right)x + c
\]

Thay $x=1$ thì ta có $\frac{a}{2} = \frac{a}{2} + \left( {b + \frac{a}{2}} \right) + c \Rightarrow c =  - b - \frac{a}{2}$

Vậy\[
P\left( x \right) = \frac{a}{2}x^2  + \left( {b + \frac{a}{2}} \right)x - b - \frac{a}{2}
\]

Thử lại: $P(1)=\dfrac{a}{2}$

\[
\begin{array}{rcl}
 P\left( {x + 1} \right) + P\left( {x - 1} \right) &=& \frac{a}{2}\left[ {\left( {x + 1} \right)^2  + \left( {x - 1} \right)^2 } \right] + \left( {b + \frac{a}{2}} \right)\left[ {\left( {x + 1} \right) + \left( {x - 1} \right)} \right] - 2b - a \\
  &=& ax^2  + \left( {2b + a} \right)x - 2b \\
  \Rightarrow \frac{1}{2}\left[ {P\left( {x + 1} \right) + P\left( {x - 1} \right)} \right] &=& P\left( x \right) + P\left( 1 \right) \\
 \end{array}
\]

Kết luận: \[
P\left( x \right) = \frac{a}{2}x^2  + \left( {b + \frac{a}{2}} \right)x - b - \frac{a}{2}
\]
Trong đó $a,b$ là 2 số thực bất kì.

Có thủ thuật nào để biết đặt như thế không anh ?

[perfectstrong]

Có thủ thuật nào để biết đặt như thế không anh ?

PP này gọi là PP sai phân. Anh nói 1 TH đơn giản trong bài, TH còn lại em tự suy nghĩ nhé (cũng tương tự thôi)

Ta có hệ thức $$Q(x+1)-Q(x)=2P(1)$$

Đặt $Q(x)=H(x)+mx+n$ rồi thay vào hệthwcss:
$$H(x+1)+m(x+1)+n - ( H(x)+mx+n)=2P(1) \Leftrightarrow H(x+1)-H(x)=-m+2P(1)$$

Ta tìm $m$ để VP luôn bằng $0$, tức $m=2P(1)$. Vì $n$ có thể thay đổi tùy ý mà không ảnh hưởng nên ta đặt luôn $n=0$.

Như thế chỉ cần đặt $Q(x)=H(x)+2P(1)x$ thì ta sẽ có $H(x+1)=H(x)$.

[Juliel]

PP này gọi là PP sai phân. Anh nói 1 TH đơn giản trong bài, TH còn lại em tự suy nghĩ nhé (cũng tương tự thôi)

Ta có hệ thức $$Q(x+1)-Q(x)=2P(1)$$

Đặt $Q(x)=H(x)+mx+n$ rồi thay vào hệthwcss:
$$H(x+1)+m(x+1)+n - ( H(x)+mx+n)=2P(1) \Leftrightarrow H(x+1)-H(x)=-m+2P(1)$$

Ta tìm $m$ để VP luôn bằng $0$, tức $m=2P(1)$. Vì $n$ có thể thay đổi tùy ý mà không ảnh hưởng nên ta đặt luôn $n=0$.

Như thế chỉ cần đặt $Q(x)=H(x)+2P(1)x$ thì ta sẽ có $H(x+1)=H(x)$.

Em có một cách lập luận thế này, không biết đúng không, nếu sai thì nhờ anh sửa giùm với !

Ta có $$Q\left ( x+1 \right )-Q(x)=2P(1)\; (1)$$

Đa thức sai phân $\Delta (x)=Q(x+1)-Q(x)$ sẽ có bậc $deg\Delta (x)=degQ(x)-1$

Do đó từ $(1)$ ta có $$deg\Delta (x)=0\Rightarrow degQ(x)-1=0\Rightarrow degQ(x)=1$$

Đặt $Q(x)=ax+b\; (*)$.

Vì $Q(x)=P(x)-P(x-1)\Rightarrow degP(x)-1=degQ(x)=1\Rightarrow degP(x)=2$.

Đặt $P(x)=mx^2+nx+p\; (**)$.

Thay $(*)$ và $(**)$ vào phương trình đa thức $Q(x)=P(x)-P(x-1)$ và đồng nhất hệ số, ta được :

$$m=\frac{a}{2},n=b+\frac{a}{2},p\in \mathbb{R}$$

Thay $x=1$ ta được $p=-b-\frac{a}{2}$. 

 

Kết luận : $P(x)=\frac{a}{2}x^{2}+\left ( b+\frac{a}{2} \right )x-b-\frac{a}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 22-09-2013 - 11:59

[perfectstrong]

Em có một cách lập luận thế này, không biết đúng không, nếu sai thì nhờ anh sửa giùm với !

Ta có $$Q\left ( x+1 \right )-Q(x)=2P(1)\; (1)$$

Đa thức sai phân $\Delta (x)=Q(x+1)-Q(x)$ sẽ có bậc $deg\Delta (x)=degQ(x)-1$

Lý luận ở khúc này là chưa đúng. Chưa chắc $\deg \Delta(x)=\deg Q(x)-1$. Ví dụ nếu $Q(x)=1$ và $P(1)=0$ thì $\deg Q \ne 1$.