Chủ đề này có 1 trả lời

[anh1211996]

Cho a,b,c là các số thực tùy ý .CMR:

$(a+b-c)^{2}(b+c-a)^{2}(c+a-b)^{2}\geq (a^{2}+b^{2}-c^{2})(b^{2}+c^{2}-a^{2})(c^{2}+a^{2}-b^{2})$

 

Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c ta luôn có

$ \sqrt{\frac{a^{2}+2b^{2}}{a^{2}+ab+bc}}+\sqrt{\frac{b^{2}+2c^{2}}{b^{2}+bc+ca}}+\sqrt{\frac{c^{2}+2a^{2}}{c^{2}+ca+ab}}\geq 3 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh1211996: 22-09-2013 - 11:59

[Hoang Tung 126]

Câu 2: Theo bđt cosi cho 3 số ta có :$A\geq 3\sqrt[3]{\frac{(a^2+2b^2)(b^2+2c^2)(c^2+2a^2)}{(a^2+ab+bc)(b^2+bc+ac)(c^2+ac+ab)}}$$A\geq 3\sqrt[3]{\frac{(a^2+2b^2)(b^2+2c^2)(c^2+2a^2)}{(a^2+ab+bc)(b^2+bc+ac)(c^2+ac+ab)}}$ nên ta chỉ cần CM bđt :$(a^2+2b^2)(b^2+2c^2)(c^2+2a^2)\geq (a^2+ab+bc)(b^2+bc+ca)(c^2+ca+ab)$ .Mặt khác theo bđt Bunhiacopxki ta có :$a^2+ab+bc\leq \sqrt{(a^2+a^2+c^2)(a^2+b^2+b^2)}=\sqrt{(2a^2+c^2)(a^2+2b^2)}$.Tương tự$b^2+bc+ac\leq \sqrt{(2b^2+a^2)(2c^2+b^2)},c^2+ab+ac\leq \sqrt{(2c^2+b^2)(2a^2+c^2)}$ .Nhân theo vế các bđt cùng chiều $= >$$(a^2+ab+bc)(b^2+bc+ac)(c^2+ac+ba)\leq (a^2+2b^2)(b^2+2c^2)(c^2+2a^2)$(đúng) $= >$ đpcm