Chủ đề này có 1 trả lời

[manocanh]

. Giải phương trình sau :

[pnt]

http://dientuvietnam...-x^2y^2 y^4=z^2 (1)
Rõ ràng http://dientuvietnam...ex.cgi?(0,y,y^2), http://dientuvietnam...ex.cgi?(x,0,x^2) ;x,y N là nghiệm của (1)
Xét A={(x,y,z)|x,y,z N*,x,y nguyên tố cùng nhau, thỏa (1)}
giả sử A
gọi (x,y,z) là phần tử thuộc A, bé nhất (theo nghĩa x+y nhỏ nhất)
x,y không thể cùng chẵn. Có thể giả sử y là số lẻ.
(1) http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x^2, ta có =http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?4z^2-3y^4=n^2
http://dientuvietnam....cgi?3y^4=(2z-n)(2z+n)
n là số lẻ ,(y,z)=1 nên (2z-n,2z+n)=1
do đó tồn tại 2 số nguyên dương a, b sao cho http://dientuvietnam...x.cgi?2z n=3a^4, http://dientuvietnam...ex.cgi?2z-n=b^4 (3)
hoặc http://dientuvietnam...ex.cgi?2z n=a^4, http://dientuvietnam...x.cgi?(3a^4-b^4)/2, y=ab
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x^2=(a^2b^2+(3a^4-b^4)/2)/2=http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(3a^2-b^2)(a^2+b^2)/4
Do (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?3a^2-b^2, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a^2+b^2)=1 nên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?3a^2-b^2 và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a^2-b^2 là các số chính phương.
do a,b,là các số lẻ nên từ http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a^2-b^2 chính phương , ta suy ra tồn tại c,d nguyên dương sao cho
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a=c^2+d^2
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?b=c^2-d^2
a^2+3b^2 chính phương http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?4(c^4-c^2d^2+d^4) chính phương
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?c^4-c^2d^2+d^4 chính phương
Các bạn chứng minh được ngay a+b<x+y (vô lý)
Vậy A= .
Tóm lại: nghiệm của (1) là (0,y,http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?y^2) ,(x,0,http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x^2) với x,y N.