Chủ đề này có 1 trả lời

[vitconvuitinh]

$a,b,c>0, abc=1$. Chứng minh:

$\frac{a^3+5}{a^3(b+c)}+\frac{b^3+5}{b^3(c+a)}+\frac{c^3+5}{c^3(a+b)}\geq 9$

[Hoang Tung 126]

Đặt $\frac{1}{a}=x,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{c}=z$.Do abc=1 nên $xyz=1$.Ta có $\sum \frac{a^3+5}{a^3(b+c)}=\sum (\frac{1}{b+c}+\frac{5}{a^3(b+c)})=\sum (\frac{1}{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}+\frac{5x^3}{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}})=\sum (\frac{yz}{y+z}+\frac{5x^3yz}{y+z})=\sum (\frac{yz}{y+z}+\frac{5x^2}{y+z})\geq \frac{(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz})^2}{2(x+y+z)}+\frac{5.(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}\geq \frac{(3.\sqrt[3]{xyz})^2}{2(x+y+z)}+\frac{5.(x+y+z)}{2}=\frac{9}{2(x+y+z)}+\frac{5(x+y+z)}{2}=(\frac{9}{2(x+y+z)}+\frac{x+y+z}{2})+2(x+y+z)\geq 2.\sqrt{\frac{9(x+y+z)}{4(x+y+z)}}+2.3\sqrt[3]{xyz}=2.\frac{3}{2}+6=9$

(Do xyz=1 và áp dụng bđt Bunhiacopxki và bđt cosi cho 2,3 số dương) .Dấu= xảy ra khi $x=y=z=1$ hay $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 23-09-2013 - 17:27