Bài dãy số trong đề chọn đội tuyển HSG Lâm Đồng 2013 – 2014
Cho dãy số $\left( {{x}_{n}} \right),n=1,2,3,...$ xác định bởi
$x_1=1 $
$ {{x}_{n}}=\sqrt{{{x}_{n}}\left( {{x}_{n}}+1 \right)\left( {{x}_{n}}+2 \right)\left( {{x}_{n}}+3 \right)+1} $
$n=1,2,3,...$
a. Chứng minh : $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}=+\infty $
b. Tìm $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{{{x}_{k}}+2}}$
Bài giải:
$a.$Từ cách xác định dãy, ta dễ dàng suy ra được: $x_n>0 \forall n=1,2,...$
Ta có: $$x_{n+1}=\sqrt{(x_n^2+3x_n)(x_n^2+3x_n+2)+1}$$
$$=\sqrt{(x_n^2+3x_n+1)^2}=x_n^2+3x_n+1$$
$$\Rightarrow x_{n+1}>3x_n>3^2x_{n-1}>...>3^n.x_1=3^n$$
$$\Rightarrow \lim_{n\to +\infty} x_n=+\infty$$
$b.$ Ta có:$$x_{n+1}=x_n^2+3x_n+1$$
$$\Rightarrow x_{n+1}+1=(x_n+1)(x_n+2)$$
$$\Rightarrow \frac{1}{x_{n+1}+1}=\frac{1}{x_n+1}-\frac{1}{x_n+2}$$
$$\Rightarrow \frac{1}{x_n+2}=\frac{1}{x_n+1}-\frac{1}{x_{n+1}+1}$$
Do đó: $$\sum_{k=1}^n \frac{1}{x_k+2}=1-\frac{1}{x_{n+1}+1}$$
$$\Rightarrow \lim_{n\to +\infty}\sum_{k=1}^n \frac{1}{x_k+2}=1$$
Bài này đã có trên tạp chí THTT năm 2005.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 23-09-2013 - 23:04
