Chủ đề này có 3 trả lời

[nguyenvantrang2009]

Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa $abc=1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P=\frac{bc}{{{a}^{2}}b+{{a}^{2}}c}+\frac{ca}{{{b}^{2}}c+{{b}^{2}}a}+\frac{ab}{{{c}^{2}}a+{{c}^{2}}b}$ 

Bất đẳng thức trong đề chọn đội tuyển HSG Lâm Đồng 2013 – 2014

 

[25 minutes]

Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa $abc=1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P=\frac{bc}{{{a}^{2}}b+{{a}^{2}}c}+\frac{ca}{{{b}^{2}}c+{{b}^{2}}a}+\frac{ab}{{{c}^{2}}a+{{c}^{2}}b}$ 

Bất đẳng thức trong đề chọn đội tuyển HSG Lâm Đồng 2013 – 2014

Xét $\frac{bc}{a^2b+a^2c}=\frac{\frac{1}{a}}{a^2(b+c)}=\frac{\frac{1}{a^3}}{\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab}}$

Chuyển $(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})\rightarrow (x,y,z)\Rightarrow xyz=1$

$\Rightarrow P=\sum \frac{x^3}{xy+xz}=\sum \frac{x^2}{y+z}\geqslant \frac{x+y+z}{2}\geqslant \frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$, hay $a=b=c=1$

[Hoang Tung 126]

Đặt $\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z$ .Do abc=1 nên xyz=1. Ta có :$\sum \frac{bc}{a^2(b+c)}=\sum \frac{\frac{1}{y}.\frac{1}{z}}{\frac{1}{x^2}.(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})}=\sum \frac{\frac{1}{yz}}{\frac{1}{x^2}.(\frac{y+z}{yz})}=\sum \frac{x^2}{y+z}\geq \frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+x)}=\frac{x+y+x}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}$ nên P Min =$\frac{3}{2}$ khi x=y=z=1 hay a=b=c=1

[BoFaKe]

Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa $abc=1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P=\frac{bc}{{{a}^{2}}b+{{a}^{2}}c}+\frac{ca}{{{b}^{2}}c+{{b}^{2}}a}+\frac{ab}{{{c}^{2}}a+{{c}^{2}}b}$ 

Bất đẳng thức trong đề chọn đội tuyển HSG Lâm Đồng 2013 – 2014

$\sum \frac{bc}{a^{2}b+a^{2}c}=\sum \frac{ab^{2}c^{2}}{a^{2}b+a^{2}c}= \sum \frac{b^{2}c^{2}}{ab+ac}\geq \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{2(ab+bc+ca)}\geq \frac{3}{2}$.