Chủ đề này có 1 trả lời

[nguyenvantrang2009]

Giải hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix}

   8{{x}^{3}}+2y=\sqrt{y+5x+2}  \\

   \left( 3x+\sqrt{1+9{{x}^{2}}} \right)\left( y+\sqrt{1+{{y}^{2}}} \right)=1  \\

\end{matrix} \right.$

Hệ phương trình trong đề chọn đội tuyển HSG Lâm Đồng 2013 – 2014

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenvantrang2009: 24-09-2013 - 17:09

[duongtoi]

Giải hệ phương trình

$\left\{ \begin{matrix}

   8{{x}^{3}}+2y=\sqrt{y+5x+2}  \\

   \left( 3x+\sqrt{1+9{{x}^{2}}} \right)\left( y+\sqrt{1+{{y}^{2}}} \right)=1  \\

\end{matrix} \right.$

Hệ phương trình trong đề chọn đội tuyển HSG Lâm Đồng 2013 – 2014

$\left\{ \begin{matrix} 8{{x}^{3}}+2y=\sqrt{y+5x+2} \\ \left( 3x+\sqrt{1+9{{x}^{2}}} \right)\left( y+\sqrt{1+{{y}^{2}}} \right)=1 \end{matrix} \right$

Từ PT thứ hai ta được $3x+\sqrt{1+9{{x}^{2}}} =-y+\sqrt{1+y^2}\Leftrightarrow f(3x)=f(-y)$

Với hàm số $f(x)=x+\sqrt{1+x^2}$.

Ta có $f'(x)=1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}}>0$ với mọi $x$.

Vậy hàm số $f(x)$ đồng biến trên TXD.

Suy ra $f(3x)=f(-y)\Leftrightarrow 3x=-y$

Thay vào phương trình đầu tiên ta được

$8{{x}^{3}}-6x=\sqrt{2x+2}$

Giải PT này ra được nghiệm. Chú ý có một nghiệm là $x=1$ nhé.