Chủ đề này có 2 trả lời

[Dung Dang Do]

Cho $a,b,c\ge0$. $a+b+c=3$. Chứng minh rằng

$$(\sqrt{a}+1)(\sqrt{b}+1)(\sqrt{c}+1)\ge 8a^{25092013}b^{25092013}c^{25092013}$$

_____

Mới chế sơ sơ. Có lẽ đề đúng

 

[25 minutes]

Cho $a,b,c\ge0$. $a+b+c=3$. Chứng minh rằng

$$(\sqrt{a}+1)(\sqrt{b}+1)(\sqrt{c}+1)\ge 8a^{25092013}b^{25092013}c^{25092013}$$

_____

Mới chế sơ sơ. Có lẽ đề đúng

Đầu tiên ta có nhận xét sau $t \in\left [ 0;1 \right ]\Rightarrow t^m\geqslant t^n\Leftrightarrow m\leqslant n$

Áp dụng AM-GM ta có $\frac{a+b+c}{3}\geqslant 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leqslant 1$

Trở lại bài toán ta có $\prod (\sqrt{a}+1)=\sqrt{abc}+1+\sum \sqrt{a}+\sum \sqrt{ab}\geqslant \sqrt{abc}+abc+3\sqrt[6]{(abc)^2}+3\sqrt[6]{abc}$

Vậy ta có ngay đpcm với nhận xét trên

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

[Hoang Tung 126]

Ta có :$(\sqrt{a}+1)(\sqrt{b}+1)(\sqrt{c}+1)\geq 2.\sqrt[4]{a}.2.\sqrt[4]{b}.2\sqrt[4]{c}=8\sqrt[4]{abc}$.Ta sẽ chứng minh $8\sqrt[4]{abc}\geq 8a^25092013.b^25092013.c^25092013$$< = > \sqrt[4]{abc}\geq a^25092013.b^25092013.c^25092013< = > abc\geq a^100368052.b^100368052.c^100368052< = > a^100368051.b^100368051.c^100368052\leq 1$. Mặt khác theo bdt cosi cho 3 số ta có :$abc\leq \frac{(a+b+c)^3}{27}=\frac{27}{27}=1< = > a^100368051.b^100368051.c^100368051\leq 1^100368051=1$(ddpcm) .Dấu = xảy ra khi a=b=c=1