Chủ đề này có 4 trả lời

[hoangmanhquan]

Cho 3 số thực dương a,b,c . Chứng minh rằng:

a, Nếu a,b,c không là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 10$

b, Nếu a,b,c thỏa mãn $(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})<10$ thì a.b.c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nhọn.

[nguyenqn1998]

Gợi ý câu b nhân vào rồi  giả sử a>=b>=c ta đc điều chứng minh

[Hoang Tung 126]

Câu a: Do a,b,c không là 3 canh của 1 tam giác nên giả sử :$a+b\leq c$.Ta có :A=$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=3+(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+(\frac{b+a}{c})+c(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq 3+2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}+\frac{b+a}{c}+\frac{4c}{a+b}=5+(\frac{a+b}{c}+\frac{c}{a+b})+\frac{3c}{a+b}\geq 5+2\sqrt{\frac{a+b}{c}.\frac{c}{a+b}}+\frac{3c}{a+b}=7+\frac{3c}{a+b}\geq 7+\frac{3c}{c}=10$(đpcm) 

 Dấu = xảy ra khi a=b=$\frac{c}{2}$

[Hoang Tung 126]

Câu b: Gỉa sử a,b,c không là 3 canh 1 tam giác nhọn .Ta có :$a+b\leq c$ .Ta có =$(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})=3+(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2})+(\frac{a^2+b^2}{c^2})+c^2.(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})\geq 3+2\sqrt{\frac{a^2}{b^2}.\frac{b^2}{a^2}}+\frac{a^2+b^2}{c^2}+c^2.(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})\geq 5+\frac{(a+b)^2}{2c^2}+c^2.\frac{2}{ab}\geq 5+\frac{(a+b)^2}{2c^2}+\frac{8c^2}{(a+b)^2}=5+(\frac{(a+b)^2}{2c^2}+\frac{c^2}{2(a+b)^2})+\frac{15c^2}{2(a+b)^2}\geq 5+2\sqrt{\frac{1}{4}}+\frac{15c^2}{2c^2}=6+\frac{15}{2}> 10$

(vô lý do trái với giả thiết) 

 Vậy a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác nhọn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 26-09-2013 - 20:45

[linhlun97]

bài toán này có thể tổng quát thành như sau

 Cho các số thực dương $a_{i},i=\overline{1,n}$ và $n\geq 3$

$n^2+1> (a_{1}+a_{2}+...+a_{n})(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}})$

Chứng minh rằng $a_{i},a_{j},a_{k}$ là độ dài 3 cạnh tam giác