Chủ đề này có 2 trả lời

[Katyusha]

Cho $\triangle ABC$ với diện tích $S$. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm $AB,AC$. Gọi $M,N$ là các điểm nằm trên cạnh $BC$ sao cho $M$ khác $C$ và $NM=NC$.

 

Các đường thẳng $AN$ và $EM$ cắt $BF$ tại $P,Q$. Gọi $S'$ là diện tích tứ giác $MNPQ$. Chứng minh $\dfrac{S}{6}\le S'\le \dfrac{S}{5}$.

 

[Katyusha]

Mình chỉ nghĩ được cách trâu bò cho bài này

 

Đặt $BM=x,MN=NC=\dfrac{a-x}{2}$. Kẻ $NI \parallel BE \Rightarrow \dfrac{EI}{EC}=\dfrac{a+x}{2a}$.

 

Ta có $\dfrac{S_{ANC}}{S_{ABC}}=\dfrac{NC}{BC}=\dfrac{a-x}{2a}\Rightarrow S_{ANC}= \dfrac{a-x}{2a}.S$ (1)

 

Mặt khác $\dfrac{AP}{AN}=\dfrac{AE}{AI}=\dfrac{1}{\frac{AI}{AE}}=\dfrac{1}{1+\frac{a+x}{2a}}=\dfrac{2a}{3a+x}$

 

Suy ra $\dfrac{S_{APE}}{S_{ANC}}=\dfrac{AE}{AC}.\dfrac{AP}{AN}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2a}{3a+x} \Rightarrow \dfrac{S_{PECN}}{S_{ANC}}=1-\dfrac{a}{3a+x}=\dfrac{2a+x}{3a+x}$ (2)

 

Từ (1) và (2) suy ra $S_{PECN}=\dfrac{2a+x}{3a+x}.\dfrac{a-x}{2a}.S$.

 

Bây giờ ta có $\dfrac{DQ}{QM}=\dfrac{DE}{BM}=\dfrac{a}{2x}\Rightarrow \dfrac{DM}{QM}=\dfrac{a+2x}{2x}$.

 

Và $S_{DBM}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{x}{a}.S_{ABC}\Rightarrow S_{BQM}=\dfrac{QM}{DM}.S_{BDM}=\dfrac{x^2}{a(a+2x)}.S_{ABC}$

 

Vậy $\dfrac{S_{MNPQ}}{S_{ABC}}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{x^2}{a(a+2x)}-\dfrac{2a+x}{3a+x}.\dfrac{a-x}{2a}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{2a^2+3ax+3x^2}{2(a+2x)(3a+x)}$

 

Ta cần chứng minh $\dfrac{1}{6}\le \dfrac{1}{2}-\dfrac{2a^2+3ax+3x^2}{2(a+2x)(3a+x)} \le \dfrac{1}{5}$

 

Hay $\dfrac{3}{10}\le \dfrac{2a^2+3ax+3x^2}{2(a+2x)(3a+x)} \le \dfrac{1}{3}$

 

Thật vậy, BĐT bên trái tương đương với $a^2-6ax+9x^2\ge 0$ hay $(a-3x)^2\ge 0$

 

Và BĐT bên phải tương đương với $a\ge x$.

 

[unvhoang1998]

Mìnk nói hok bík đúng hok  khi ban kẻ NI // BE tì mình nghĩ nó là BF chứ