Chủ đề này có 1 trả lời

[pdtienArsFC]

Cho tam giác ABC, các đường phân giác BD, CE cắt nhau tại I thỏa mãn BD.CE=2BI.CI. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông

 

[Hoang Tung 126]

Đặt AB=c, BC=a,CA=b.

Theo tính chất đường phân giác ta có :$\frac{CD}{AD}=\frac{BC}{BA}= > \frac{CD}{AD+CD}=\frac{CD}{AC}=\frac{BC}{BA+BC}= > CD=\frac{AC.BC}{AB+BC}=\frac{ab}{c+a}$

Tương tự $BE=\frac{ac}{a+b}$

Theo tính chất dương phân giác có :$\frac{BI}{ID}=\frac{BC}{DC}= > \frac{BI}{BI+ID}=\frac{BC}{BC+CD}= > \frac{BI}{BD}=\frac{a}{a+\frac{ab}{a+c}}=\frac{a}{\frac{a(a+b+c)}{a+c}}=\frac{b+c}{a+b+c}$

Tương tự $\frac{CI}{CE}=\frac{a+c}{a+b+c}$ 

Do $BD.CE=2BI.IC= > \frac{BI}{BD}.\frac{IC}{CE}=\frac{1}{2}= > \frac{(a+c)(b+c)}{a+b+c}^2=\frac{1}{2}< = > a^2+b^2=c^2= > \Delta ABC$ vuông tại A(định lý Pitago đảo)