Chủ đề này có 3 trả lời

[hungmind]

tìm min của:

$\sqrt{\frac{a^{3}}{{a^{3}}+\left ( {b+c} \right )^{3}}} + \sqrt{\frac{b^{3}}{{b^{3}}+\left ( {a+c} \right )^{3}}} + \sqrt{\frac{c^{3}}{{c^{3}}+\left ( {b+a} \right )^{3}}}$

[Rias Gremory]

tìm min của:

$\sqrt{\frac{a^{3}}{{a^{3}}+\left ( {b+c} \right )^{3}}} + \sqrt{\frac{b^{3}}{{b^{3}}+\left ( {a+c} \right )^{3}}} + \sqrt{\frac{c^{3}}{{c^{3}}+\left ( {b+a} \right )^{3}}}$

Chưa nói về cách giải bài toán này. Phần này đáng lẽ ra phải đăng ở Mục Bất đẳng Thức THCS hoặc THPT. Bạn đăng nhầm vào Mục Vấn đề chung của diễn đàn, nên có rất ít người chú ý tới câu hỏi này của bạn. Bạn lần sau chú ý hơn

[letankhang]

tìm min của:

$\sqrt{\frac{a^{3}}{{a^{3}}+\left ( {b+c} \right )^{3}}} + \sqrt{\frac{b^{3}}{{b^{3}}+\left ( {a+c} \right )^{3}}} + \sqrt{\frac{c^{3}}{{c^{3}}+\left ( {b+a} \right )^{3}}}$

Ta chứng minh BĐT phụ sau :

$\sqrt{\frac{a^{3}}{a^{3}+(b+c)^{3}}}\geq \frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

$\Leftrightarrow \frac{a^{3}}{a^{3}+(b+c)^{3}}\geq \frac{a^{4}}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}\Leftrightarrow a^{3}[a^{4}+2a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}+c^{2})^{2}]\geq a^{7}a^{4}(b+c)^{3}\Leftrightarrow 2a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}+c^{2})^{2}\geq a(b+c)^{3}$

Theo BĐT Cauchy :

$2(b^{2}+c^{2})\geq (b+c)^{2}\Rightarrow 8(b^{2}+c^{2})^{3}\geq (b+c)^{6}$

Theo BĐT AM-GM thì :

$2a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}+c^{2})^{2}\geq 2\sqrt{2a^{2}(b^{2}+c^{2})^{3}}\geq a(b+c)^{3}$

Vậy BĐT phụ được chứng minh 

Tương tự với BĐT còn lại 

Suy ra :

$\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{a^{3}}{a^{3}+(b+c)^{3}}}\geq 1$

Vậy :

$Min=1\Leftrightarrow a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 28-09-2013 - 21:11

[Dung Dang Do]

$$\sum \sqrt{\frac{1}{1+(\frac{b+c}{a})^3}}=\sum \frac{1}{\sqrt{(1+x)(x^2-x+1)}}\ge \sum \frac{2}{x^2+2}\le 1$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Dang Do: 29-09-2013 - 10:53