Chủ đề này có 1 trả lời

[holmes2013]

Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh: $\sqrt{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-2}+\frac{8abc}{\left ( a+b \right )\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )}\geq 2$

[Hoang Tung 126]

Ta có A=$\sqrt{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-2}+\frac{8}{(1+\frac{a}{b})(1+\frac{b}{c})(1+\frac{c}{a})}$

Đặt $\frac{a}{b}=x,\frac{b}{c}=y,\frac{c}{a}=z= > x+y+z\geq 3,xyz=1= > A=\sqrt{x+y+z-2}+\frac{8}{(x+1)(y+1)(z+1)}=\sqrt{x+y+z-2}+\frac{8}{xy+yz+xz+x+y+z+2}\geq \sqrt{x+y+z-2}+\frac{8}{2+x+y+z+\frac{(x+y+z)^2}{3}}$

=B

Ta sẽ CM B$\geq 2$.Đặt $\sqrt{x+y+z-2}=t= > t\geq \sqrt{3-2}=1= > t\geq 1$$= > x+y+z=$t^2+2$

Nên B=$t+\frac{8}{2+t^2+2+\frac{(t^2+2)^2}{3}}\geq 2< = > t+\frac{24}{3t^2+12+(t^2+2)^2}\geq 2< = > t+\frac{24}{t^4+7t^2+16}\geq 2< = > t^5+7t^3+16t+24\geq 2t^4+14t^2+32< = > t^4(t-1)-t^3(t-1)+6t^2(t-1)-8t(t-1)+8(t-1)\geq 0< = > (t-1)(t^4-t^3+6t^2-8t+8)\geq 0$(1)

Mặt khác $t^4-t^3+6t^2-8t+8=(t^2-\frac{t}{2})^2+8(\frac{t}{2}-1)^2+\frac{15t^2}{4}> 0$ do t$\geq 1$(2)

Từ (1) và (2) $= > t-1\geq 0< = > t\geq 1$(luôn đúng) $= >$đpcm

Dấu= xảy ra khi t=1 $< = > x=y=z=1< = > a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 03-10-2013 - 15:55