11 replies to this topic

[ILoveMathverymuch]

1/ Tìm số nguyên tố $p$ sao cho $2p+1$ là lập phương của một số tự nhiên.

2/ Chứng minh rằng nếu $3^{n} +2^{n}+1$ là số nguyên tố $(n \in \mathbb{N})$ thì $n \vdots 3.$

3/ $(Bulgari 2000)$ Tìm tất cả số nguyên tố $p$ thoả mãn tồn tại các số nguyên dương $n,x,y$ mà $p^{n}=x^{3}+y^{3}.$

4/ Xác định tất cả các số nguyên tố $p,q$ thoả mãn $\frac{p^{2n+1}-1}{p-1}=\frac{q^{3}-1}{q-1}.(n>1)$

Edited by halloffame, 15-02-2019 - 15:23.
Chỉnh lại Latex

[thuan192]

1/ Đặt $2p+1=n^{3}(n \in \mathbb{N}) \Leftrightarrow 2p=n^{3}-1=(n-1)(n^{2}+n+1).$

Vì $p$ là số nguyên tố nên $\left\{\begin{matrix} n-1=2\\n^{2}+n+1=p \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} n-1=p\\n^{2}+n+1=2 \end{matrix}\right.$  hoặc $\left\{\begin{matrix} n-1=1\\ n^{2}+n+1=2p \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} n-1=2p\\ n^{2}+n+1=1 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow p=13.$

Edited by halloffame, 15-02-2019 - 15:41.

[thuan192]

Đề bài $2$ không chính xác rồi! Ta thấy $3^{n}+2^{n}+1>2$ và luôn chia hết cho $2$ nên luôn là hợp số với mọi $n$ nguyên dương.

Edited by halloffame, 15-02-2019 - 15:24.
Chỉnh Latex

[badatmath]

1/ Đặt $2p+1=n^{3}(n \in \mathbb{N}) \Leftrightarrow 2p=n^{3}-1=(n-1)(n^{2}+n+1).$

Vì $p$ là số nguyên tố nên $\left\{\begin{matrix} n-1=2\\n^{2}+n+1=p \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} n-1=p\\n^{2}+n+1=2 \end{matrix}\right.$  hoặc $\left\{\begin{matrix} n-1=1\\ n^{2}+n+1=2p \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} n-1=2p\\ n^{2}+n+1=1 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow p=13.$

Bạn cần phải chứng minh $n-1$ và $n^2+n+1$ nguyên tố cùng nhau đã mới được dùng như thế.

Edited by halloffame, 15-02-2019 - 15:41.

[Zaraki]

Bài 2,3 xem tại đây.

[ILoveMathverymuch]

Bạn cần phải chứng minh $n-1$ và $n^2+n+1$ nguyên tố cùng nhau đã mới được dùng như thế.

Làm sao chứng minh đây bạn?

Edited by halloffame, 15-02-2019 - 15:29.

[badatmath]

Làm sao chứng minh đây bạn?

Mình nghĩ nên thử đến $p=3,$ sau đó nếu $p> 3$ thì gọi $d$ là ước chung nguyên tố của $n-1$ và $ n^2+n+1.$

$\left\{\begin{matrix} n-1\vdots d\\ n^2+n+1\vdots d \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow (n^2+n+1)-(n-1)(n+2)\vdots d \Rightarrow 3\vdots d.$

Mà $2,3,p$ đôi một nguyên tố cùng nhau $\Rightarrow d=1.$

Edited by halloffame, 15-02-2019 - 15:32.

[thuan192]

Bạn cần phải chứng minh $n-1$ và $n^2+n+1$ nguyên tố cùng nhau đã mới được dùng như thế.

Mình đã sửa lại rồi.

Edited by halloffame, 15-02-2019 - 15:30.

[Zaraki]

Mình đã sửa lại rồi.

Để cho nhanh hơn thì ta có thể thử trực tiếp $p=2$ không thỏa mãn. Xét $p>2$ với các trường hợp đó thì nhận thấy $n-1<n^2+n+1$ nên chỉ có hai trường hợp là $\begin{cases} n-1=2 \\ n^2+n+1=p \end{cases}$ và $\begin{cases} n-2=1 \\ n^2+n+1=2p \end{cases}$.

Edited by halloffame, 15-02-2019 - 15:30.

[thuan192]

Mình nghĩ nên thử đến $p=3,$ sau đó nếu $p> 3$ thì gọi $d$ là ước chung nguyên tố của $n-1$ và $ n^2+n+1.$

$\left\{\begin{matrix} n-1\vdots d\\ n^2+n+1\vdots d \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow (n^2+n+1)-(n-1)(n+2)\vdots d \Rightarrow 3\vdots d.$

Mà $2,3,p$ đôi một nguyên tố cùng nhau $\Rightarrow d=1.$

$n-1$ và $n^{2}+n+1$ không nguyên tố cùng nhau, ví dụ như $n=7.$

Edited by halloffame, 15-02-2019 - 15:32.

[AkaKuro0415]

Giả sử ở bài toán khác, ta hỏi ''Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $p^{2}-p+1$ là lập phương của một số tự nhiên" thì cách làm sẽ tương tự bài này phải không?

Edited by halloffame, 15-02-2019 - 15:32.

[DBS]

1/ Đặt $2p+1=n^3$ với $n$ là số tự nhiên.

 

♣ Ta thấy $p=2$ thì $2p+1=5$ không là số lập phương. 

 

♣ Nếu $p>2$ thì $p$ lẻ, mặt khác $2p+1$ lẻ $\Rightarrow n^3$ lẻ $\Rightarrow n$ lẻ 
$\Rightarrow 2p+1=(2k+1)^3(n=2k+1)$
$\Leftrightarrow 2p+1=8k^3+12k^2+6k+1$
$\Leftrightarrow p=k(4k^2+6k+3)$

$\Rightarrow p \vdots k.$ Do $p$ là số nguyên tố nên $k=1$ hoặc $k=p.$ 

♫ Khi $k=1,p=(4.1^2+6.1+3)=13$ (nhận).

♫ Khi $k=p,4k^2+6k+3=4p^2+6p+3=1.$ Do $p>2$ nên $4p^2+6p+3>1$ (loại).

 

Vậy $p=13.$

Edited by halloffame, 15-02-2019 - 15:40.