Câu 1:ý 2:
Đây là toàn bộ lời giải của mình(mình tự làm 100% đó).
Dựa vào đồ thị và đề cho, ta có:
$\left\{\begin{matrix} IA^{2}+IB^{2}=AB^{2} & \\ AB=IA\sqrt{2} & \end{matrix}\right. \Rightarrow IA^{2}=IB^{2}\Leftrightarrow IA=IB$
Do đó $\Delta ABC$ vuông cân.
Xét đường thẳng $d:x+y-2=0$(dựa và đồ thị ta đoán ra được).Phương trình hoàng độ giao điểm của d và (C) là:
$\frac{2x-3}{x-2}=2-x$
$\Leftrightarrow x=1$( nhận)
Suy ra d cắt (C) tại 1 điểm duy nhất, suy ra d là tiếp tuyến của (C).
Dựa vào đồ thị thì B(0;2),A(2;0) thuộc d và IAB là tam giác vuông cân, suy ra $d:x+y-2=0$ thỏa yêu cầu bài toán.
Gọi d' là đường thẳng đối xứng với d qua $I(2;2)$, ta có:
$d':x+y-6=0$
Dựa vào đồ thị dễ thấy d' thỏa yêu cầu bài toán.Vậy d$d:x+y-2=0$ và $d:x+y-6=0$ là tiếp tuyến cần tìm.
Câu 2:
a/$\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x+1}+\sqrt{2y+1}=\frac{(x-y)^{2}}{2}(1) & \\ (x+y)(x+2y)+3x+2y=4(2) & \end{matrix}\right.$
Điều kiện:$x,y\geqslant \frac{-1}{2}$
Ta có $(2)\Leftrightarrow x^{2}+(3y+3)x+2y^{2}+2y-4=0$
Xem phương trình này là phương trình bậc 2 ẩn x, tham số y, giải phương trình ta được nghiệm:
$x=-2y-4\vee x=1-y$
Thế $x=-2y-4$ vào (1), ta có:
$\sqrt{-4x-7}+\sqrt{2y+1}=\frac{(3y+4)^{2}}{2}$
ta có:$\left\{\begin{matrix} -4y-7\geqslant 0 & \\ 2y+1\geqslant 0 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y\leq \frac{-7}{4} & \\ y\geqslant \frac{-1}{2} & \end{matrix}\right.$(vô lí)
Do đó, trường hợp này vô nghiệm.
Thế $x=1-y$(3) vào (1), ta có:
$\sqrt{3-2y}+\sqrt{2y+1}=\frac{(2y-1)^{2}}{2}(\frac{-1}{2}\leqslant y\leqslant \frac{3}{2})$
Đặt $t=y-\frac{1}{2}(-1\leqslant t\leqslant 1)$, phương trình trên trở thành:
$\sqrt{2-2t}+\sqrt{2+2t}=2t^{2}(4)$
Xét hàm số $f(t)=2t^{2}(-1\leqslant t\leqslant 1)\Rightarrow 0\leqslant f(t)\leqslant 2$(5)
Xét hàm số $g(t)=\sqrt{2-2t}+\sqrt{2+2t}(-1\leqslant t\leqslant 1)$
$g'(t)=\frac{1}{2\sqrt{2+2t}}-\frac{1}{2\sqrt{2-2t}}(-1\leqslant t\leqslant 1)$
$g'(t)=0\Leftrightarrow t=0$ ( nhận)
$g(0)=2\sqrt{2},g(1)=g(-1)=2$
$\Rightarrow 2\leqslant g(t)\leqslant 2\sqrt{2}$(6)
Từ (5) và (6) suy ra $g(t)\geqslant f(t)$.Dấu bằng xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} f(t)=2 & \\ g(t)=2 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} t=1\vee t=-1 & \\ t=1\vee t=-1 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow t=1\vee t=-1 \Leftrightarrow y=\frac{3}{2}\vee y=\frac{-1}{2}$
Nếu $y=\frac{3}{2}\Rightarrow x=\frac{-1}{2}$
Nếu $y=\frac{-1}{2}\Rightarrow x=\frac{3}{2}$
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm $(x;y)=(\frac{3}{2};\frac{-1}{2}),(\frac{-1}{2};\frac{3}{2})$.
b/Điều kiện:$x\neq k\frac{\pi }{2},x\neq \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$
Phương trình đã cho tương đương:
$3\sin 2x+\tan 2x+\sin 4x=0\Leftrightarrow \sin 2x=0\vee 3+\frac{1}{\cos 2x}+2\cos 2x=0$
$\Leftrightarrow 2x=k\pi\vee 2\cos ^{2}2x+3\cos 2x+1=0\Leftrightarrow x=k\frac{\pi }{2}(loai)\vee \cos 2x=-1\vee \cos 2x=\frac{-1}{2}$
$\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi (loai)\vee x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi$
Vậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm.
Câu 5:THeo đề bài, ta có:
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+1^{2}\geqslant \frac{(a+b+c+1)^{2}}{4}$( theo bất đẳng thức SCHWARZ)
$\Rightarrow P\leqslant \frac{2}{a+b+c+1}-\frac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)}(1)$
Đặt x=a+1,y=b+1,z=c+1($x,y,z\geqslant 1$,(1) trở thành:
$P\leqslant \frac{2}{x+y+z-2}-\frac{2}{xyz}$
Ta lại có:$x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}$(AM-GM).Suy ra:
$\frac{2}{x+y+z-2}-\frac{2}{xyz}\leqslant \frac{2}{3\sqrt[3]{xyz}-2}-\frac{2}{xyz}$
đặt t=$\sqrt[3]{xyz}$($t\geqslant 1$,xét hàm số:
$f(t)=\frac{2}{3t-2}-\frac{2}{t^{3}}(t\geqslant 1)$
$f'(t)=\frac{-6}{(3t-2)^{2}}+\frac{6}{t^{4}}(t\geqslant 1)$
$f'(t)=0\Leftrightarrow t=1\vee t=2$
$\lim_{t\rightarrow +\infty }f(t)=0$
Lập bảng biến thiên dễ thấy max f(t)=$\frac{1}{4}$
Vậy max P=$\frac{1}{4}$ khi a=b=c=1
Câu 3:
Gọi $d:x-y+4=0$.$C\in d\Rightarrow C(a;a+4)$
$d1:3x-4y-23=0$.$D\in d1\Rightarrow C(\frac{4b+23}{3};b)$
Gọi I là trung điểm của AC$\Rightarrow I(\frac{a+5}{2};\frac{a-3}{2})$
I là trung điểm của BD $\Rightarrow B(\frac{3a-4b-8}{3};a-b-3)$
Gọi N là trung điểm của AB $\Rightarrow N\left ( \frac{3a-4b+7}{6};\frac{a-b-10}{2} \right )$
$N\in d1\Rightarrow a=1\Rightarrow C(1;5),B(\frac{-5-4b}{3};-2-b),I(3;-1)$
ta có:IB=IC$\Leftrightarrow 40=\frac{(14+4b)^{2}}{9}+(b+1)^{2}\Leftrightarrow b=1\vee b=\frac{-31}{5}$
$b=1\Rightarrow B(-3;-3)$(loại)
$b=\frac{-31}{5}\Rightarrow B(\frac{33}{5};\frac{21}{5})$(nhận)
Vậy $B(\frac{33}{5};\frac{21}{5}),C(1;5)$
Câu hình không gian thì thể tích bằng $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{12}$
Các bạn thử chấm xem mình được giải gì? thanks.