Chủ đề này có 1 trả lời

[dinosaur]

Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có ABCD là hình bình hành, AB=a, AA'=$\frac{a\sqrt{3}}{2}$ . Gọi M,N là trung điểm của A'D', A'B'. Tính thể tích A.BDMN biết : AC' vuông góc với mp (BDMN)

[chanhquocnghiem]

Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có ABCD là hình bình hành, AB=a, AA'=$\frac{a\sqrt{3}}{2}$ . Gọi M,N là trung điểm của A'D', A'B'. Tính thể tích A.BDMN biết : AC' vuông góc với mp (BDMN)

$AC{}'$ _|_ $(BDMN)$ ---> $AC{}'$ _|_ $BD$ ---> $AC$ _|_ $BD$ ---> $BD$ _|_ $(ACC{}'A{}')$ ---> $MN$ _|_ $(ACC{}'A{}')$

Gọi $P;Q$ lần lượt là trung điểm của $BD;MN$ ---> $P\in AC;Q\in A{}'C{}'$ ---> $PQ$ _|_ $MN$ và $PQ$ _|_ $BD$

Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $(BDMN)$ ---> $H\in AC{}'$

$BD$ _|_ $AP\Rightarrow BD$ _|_ $HP\Rightarrow H\in PQ$

$\widehat{APQ}=\widehat{AC{}'C}\Rightarrow tanAPQ=tanAC{}'C\Rightarrow \frac{AA{}'}{AP-A{}'Q}=\frac{AC}{AA{}'}\Rightarrow \frac{2AA{}'}{AP}=\frac{AC}{AA{}'}\Rightarrow AP=AA{}'=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow tanAPQ=2\Rightarrow sinAPQ=\frac{2}{\sqrt{5}}\Rightarrow AH=APsinAPQ=\frac{a\sqrt{15}}{5}$

$BP=\sqrt{AB^2-AP^2}=\frac{a}{2}\Rightarrow BD=a\Rightarrow MN=\frac{a}{2}$

$PQ=\frac{AA{}'}{sinAPQ}=\frac{a\sqrt{15}}{4}$

$V(A.BDMN)=\frac{1}{3}.AH.\frac{(BD+MN).PQ}{2}=\frac{3a^3}{16}$