Chủ đề này có 7 trả lời

[mathandyou]

Câu 1.

Cho hàm số $y=x^3+3ax^2+3bx$ (với $a,b$ là hai tham số thực,$x$ là biến thực).Chứng minh rằng đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị A và B thỏa $AB >2$ khi và chỉ khi $2(a^2-b)>1$.

Câu 2.

Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix}x^2y+xy+2x-12y-24=0 & & \\  x^3-y^3=2(x^2+y^2+xy)+3(x-y-2)& &\end{matrix}\right.$

Câu 3.

Giải phương trình:$cos(2x).cot(2x)=cosx.cotx$

Câu 4.

Cho a,b,c là ba số thực đều lớn 1 thỏa $a+b+c=abc$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{a-2}{b^2}+\frac{b-2}{c^2}+\frac{c-2}{a^2}$.

Câu 5.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh $2a$,với $a>0$.Biết SAB là tam giác đều,góc giữa mp(SCD) và đáy bằng 60 độ.Gọi điểm H là hình chiếu của S lên mặt đáy,H ở trong hình vuông ABCD.Gọi M là trung điểm cạnh AB.

Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo $a$.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC theo $a$.

Câu 6.

Gọi T là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm có 4 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7.

Xác định số phần tử của T.Chọn ngẫu nhiên một số phân biệt từ tập T,tính sác xuất để số được chọn là số chia hết cho 6.

 

[25 minutes]

Câu 4.

Cho a,b,c là ba số thực đều lớn 1 thỏa $a+b+c=abc$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{a-2}{b^2}+\frac{b-2}{c^2}+\frac{c-2}{a^2}$.

Ta có $\sum \frac{a-2}{b^2}=\sum \frac{a-1+b-1}{b^2}-\sum \frac{1}{b}=\sum (a-1)(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2})-\sum \frac{1}{a}$

Áp dụng AM-GM ta có

        $\sum (a-1)(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2})\geqslant \sum \frac{2(a-1)}{ab}=\sum \frac{2}{b}-\sum \frac{2}{ab}$

$\Rightarrow \sum (a-1)(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2})-\sum \frac{1}{a}\geqslant \sum \frac{1}{a}-\sum \frac{2}{ab}$

Từ giả thiết ta có $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1$

Áp dụng AM-GM ta có $\sum \frac{1}{a}\geqslant \sqrt{3(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})}=\sqrt{3}$

$\Rightarrow P\geqslant \sqrt{3}-2$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{3}$

[25 minutes]

Câu 2.

Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix}x^2y+xy+2x-12y-24=0 & & \\  x^3-y^3=2(x^2+y^2+xy)+3(x-y-2)& &\end{matrix}\right.$

Từ phương trình thứ 2 ta có 

          $(x-y)(x^2+xy+y^2)=2(x^2+xy+y^2)+3(x-y)-6$

$\Leftrightarrow (x-y-2)(x^2+xy+y^2-3)=0$

[Juliel]

Vòng 2

Câu 1 : Cho dãy $(a_n)$ thỏa $\left\{\begin{matrix} a_1=2,a_2=1 & & \\ a_{n+2}=\dfrac{a_n.a_{n+1}}{2a_n+a_{n+1}}& & \end{matrix}\right.\forall n\in \mathbb{N}^{*}$

Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn khi $n\rightarrow +\infty$. Hãy tìm $\lim_{n\rightarrow +\infty }a_n$

 

Câu 2 : Cho hai số nguyên dương $a,b$ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn $p|a^2+b^2$. Biết rằng $p$ là tổng của hai số chính phương. Chứng minh rằng $\dfrac{a^2+b^2}{p}$ cũng là tổng của hai số chính phương.

 

Câu 3 : Cho tập hợp $A=\left \{ n\in \mathbb{Z}|-6\leq n\leq 6 \right \}$. Gọi $B$ là tập con của $A$, biết $B$ có bốn phần tử và tổng bốn phần tử của $B$ là một số dương. Tìm số tập hợp $B$.

 

Câu 4 : Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ có $AB<BC<CA$ và góc $ABC$ nhọn. Đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác và tiếp xúc với $BC$ tại $D$. $M,N$ lần lượt là giao điểm của hai đường thẳng $AO,AI$ với $(O)$, biết $A$ không trùng $M$ và $N$. Chứng minh : $\widehat{IND}=\widehat{IMO}$

 

Câu 5 : Tìm hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa mãn các điều kiện :

$f(4)=4$

$f(2m)=2f(m),\;\forall m\equiv 1\;(mod\;2)$

$f(m)<f(n);\;\forall m,n\in \mathbb{N}:m<n$

 

Mỗi câu 4 điểm !!

[Juliel]

 

Câu 2 : Cho hai số nguyên dương $a,b$ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn $p|a^2+b^2$. Biết rằng $p$ là tổng của hai số chính phương. Chứng minh rằng $\dfrac{a^2+b^2}{p}$ cũng là tổng của hai số chính phương.

Thực chất đây chỉ là một bước nhỏ trong chứng minh định lí $Fermat-Euler$.

Đặt $p=c^2+d^2$.

Ta có $$\frac{a^2+b^2}{p}=\dfrac{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}{p^2}=\dfrac{(ad+bc)^2+(ac-bd)^2}{p^2}=\left ( \dfrac{ad+bc}{p} \right )^2+\left ( \dfrac{ac-bd}{p} \right )^2=\left ( \frac{ad-bc}{p} \right )^2+\left ( \frac{ac+bd}{p} \right )^2$$

Mặt khác :$$(ac+bd)(ac-bd)=a^2c^2-b^2d^2=a^2(c^2+d^2)-d^2(a^2+b^2)=a^2.p+d^2(a+b^2)\vdots p$$

Nên hoặc $p|ac+bd$ hoặc $p|ac-bd$

Nếu $p|ac+bd$ thì $$\frac{a^2+b^2}{p}=\left ( \frac{ac+bd}{p} \right )^2+\left ( \frac{ad-bc}{p} \right )^2$$

Do $$\frac{a^2+b^2}{p},\frac{ac+bd}{p}\in \mathbb{Z}\Rightarrow \frac{ad-bc}{p}\in \mathbb{Z}$$

Suy ra $\frac{a^2+b^2}{p}$ là tổng của hai số chính phương.

Trường hợp $p|ac-bd$ tương tự.

[kfcchicken98]

bài 1: Dễ dàng thấy đây là dãy số dương 
có $a_{n+2}-a_{n+1}= \frac{a_{n}a_{n+1}}{2a_{n}+a_{n+1}}-a_{n+1}= \frac{a_{n}a_{n+1}-2a_{n}a_{n+1}-a_{n+1}^{2}}{2a_{n}+a_{n+1}}= \frac{-a_{n}a_{n+1}-a_{n+1}^{2}}{2a_{n}+a_{n+1}}<0$

suy ra đây là dãy số giảm
Giả sử giới hạn dãy số là L, có: $L=\frac{3L^{2}}{L}$

suy ra L=0 hoặc L=1, do dãy giảm suy ra L<1
Suy ra L=0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kfcchicken98: 10-11-2013 - 14:35

[vuvanquya1nct]

Từ phương trình thứ 2 ta có 

          $(x-y)(x^2+xy+y^2)=2(x^2+xy+y^2)+3(x-y)-6$

$\Leftrightarrow (x-y-2)(x^2+xy+y^2-3)=0$

Còn chỗ màu đỏ chứng minh vô nghiệm sao vậy thay

[Luffy 97]

Ta có:

$DIN=MCN=MAN$

$\frac{ID}{IA}=\frac{BN}{AM}=\frac{IN}{AM}(=\sin(\frac{A}{2}))$

nên hai tam giác $IDN, AIM$ đồng dạng.

$\Rightarrow$ đpcm ~~

Hình gửi kèm

•