Chủ đề này có 3 trả lời

[haitienbg]

Tìm hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

 thỏa mãn:

1.  $f(x+y)\leq f(x)+f(y)$

với mọi $x,y\in\mathbb{R}$

2.  $f(x)\leq e^{x}-1$ 

với mỗi $x\in\mathbb{R}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi haitienbg: 11-10-2013 - 23:51

[perfectstrong]

Lời giải:

\[
\begin{array}{l}
 f:R \to R \\
 \left( 1 \right)f\left( {x + y} \right) \le f\left( x \right) + f\left( y \right),\forall x,y \in R \\
 \left( 2 \right)f\left( x \right) \le e^x  - 1,\forall x \in R \\
 \end{array}
\]
Kí hiệu $a:=b$ nghĩa là thay $a$ bởi $b$

\[
\begin{array}{l}
 \left. \begin{array}{l}
 x: = 0,\left( 2 \right) \Rightarrow f\left( 0 \right) \le 0 \\
 x = y: = 0,\left( 1 \right) \Rightarrow f\left( 0 \right) \ge 0 \\
 \end{array} \right\} \Rightarrow f\left( 0 \right) = 0 \\
 y: =  - x,\left( 1 \right) \Rightarrow f\left( { - x} \right) \ge  - f\left( x \right),\forall x \in R \\
 y: = x,\left( 1 \right) \Rightarrow f\left( {2x} \right) \le 2f\left( x \right) \\
 \end{array}
\]
Bằng quy nạp, ta có\[
f\left( {nx} \right) \le nf\left( x \right),\forall x \in R,n \in N
\]

Do đó

\[
x: = \dfrac{x}{n} \Rightarrow f\left( x \right) \le nf\left( {\dfrac{x}{n}} \right),\forall x \in R,n \in N^*  \Rightarrow nf\left( { - \dfrac{x}{n}} \right) \ge f\left( { - x} \right) \ge  - f\left( x \right)
\]
Xét $x>0$, suy ra $\dfrac{{f\left( { - \dfrac{x}{n}} \right)}}{{ - \dfrac{x}{n}}} \le \dfrac{{f\left( x \right)}}{x}$

Vì $x > 0 \Rightarrow  - \dfrac{x}{n} < 0 \Rightarrow \dfrac{{f\left( { - \dfrac{x}{n}} \right)}}{{ - \dfrac{x}{n}}} \ge \frac{{e^{\dfrac{{ - x}}{n}}  - 1}}{{ - \dfrac{x}{n}}}$

Nên \[
\forall x > 0:\dfrac{{e^{\dfrac{x}{n}}  - 1}}{{\dfrac{x}{n}}} \ge \dfrac{{f\left( {\dfrac{x}{n}} \right)}}{{\dfrac{x}{n}}} \ge \dfrac{{f\left( x \right)}}{x} \ge \dfrac{{f\left( { - \dfrac{x}{n}} \right)}}{{ - \dfrac{x}{n}}} \ge \dfrac{{e^{ - \dfrac{x}{n}}  - 1}}{{ - \dfrac{x}{n}}}
\]

Cho $n \to +\infty$ và do $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{e^x  - 1}}{x} = 1$ nên \[
1 \ge \dfrac{{f\left( x \right)}}{x} \ge 1 \Rightarrow f\left( x \right) = x,\forall x > 0
\]

Đối với $x<0$, tương tự trên, ta có:\[
\dfrac{{e^{\dfrac{x}{n}}  - 1}}{{\dfrac{x}{n}}} \le \dfrac{{f\left( {\dfrac{x}{n}} \right)}}{{\dfrac{x}{n}}} \le \dfrac{{f\left( x \right)}}{x} \le \dfrac{{f\left( { - \dfrac{x}{n}} \right)}}{{ - \dfrac{x}{n}}} \le \dfrac{{e^{ - \dfrac{x}{n}}  - 1}}{{ - \dfrac{x}{n}}}
\]
Cho $n \to +\infty$, ta có \[
1 \ge \dfrac{{f\left( x \right)}}{x} \ge 1 \Rightarrow f\left( x \right) = x,\forall x < 0
\]

Kết hợp với $f(0)=0$, ta có $f(x)=x\,\forall x \in R$

Thử lại:

Kết luận:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 14-10-2013 - 14:31

[Lyer]

Sao có cái dòng thứ 14  vậy bạn??

[perfectstrong]

Sao có cái dòng thứ 14  vậy bạn??

Bạn thay $x$ bởi $-\dfrac{-x}{n}$ trong (2). Sau đó, chia 2 vế cho $-\dfrac{x}{n}<0$.