Cho 2 số nguyên dương x, y thỏa mãn: $(x+y-1)^{2}=xy$
Tìm min P = $\frac{1}{xy} + \frac{1}{x^{2}+y^{2}} + \frac{\sqrt{xy}}{x+y}$
Tìm GTNN $\frac{1}{xy} + \frac{1}{x^{2}+y^{2}} + \frac{\sqrt{xy}}{x+y}$
Bắt đầu bởi quynhhph1, 12-10-2013 - 20:08
#2
Đã gửi 12-10-2013 - 22:43
TranLeQuyen
-
- Thành viên
-
- 158 Bài viết
Trung sĩ
Cho 2 số nguyên dương x, y thỏa mãn: $(x+y-1)^{2}=xy$
Tìm min P = $\frac{1}{xy} + \frac{1}{x^{2}+y^{2}} + \frac{\sqrt{xy}}{x+y}$
+ Ta có $(x+y-1)^{2}=xy\le\frac14(x+y)^2\to x+y\le2\to t:={1\over x+y}\ge\frac12$.
+ Sử dụng các bdt $\frac1a+\frac1b\ge\frac4{a+b}$, AM-GM và $ab\le\frac12(a^2+b^2)$ ta có
$$P=\left(\frac1{2xy}+\frac1{x^2+y^2}\right)+\left(\frac1{2xy}+{\sqrt{xy}\over x+y}\right)\\
\ge{4\over (x+y)^2}+{1\over \sqrt{xy}(x+y)}\ge{4\over (x+y)^2}+{2\over (x+y)^2}\ge\frac32.$$
+ Đẳng thức có khi $x=y=1$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TranLeQuyen: 12-10-2013 - 22:45
- canhhoang30011999 và Rikikudo1102 thích
"Trong toán học, nghệ thuật nêu vấn đề có giá trị cao hơn việc giải quyết nó..."
#3
Đã gửi 14-10-2013 - 17:06
quynhhph1
-
- Thành viên
-
- 21 Bài viết
Binh nhất
Chỗ này sai rồi bạn, phải là $\frac{2}{\sqrt{xy}\left ( x +y \right )}$ chứ, nên min là 2
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quynhhph1: 14-10-2013 - 17:07
- ngohuongly yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
