Chủ đề này có 1 trả lời

[AnnieSally]

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn các điều kiện sau:

1) $f(x+f(y))=y+f(x)$ với mọi $x,y \in \mathbb{R}$

2) Với mọi $x\neq 0$, tập hợp $\begin{Bmatrix} \dfrac{f(x)}{x} \end{Bmatrix}$ là tập hợp hữu hạn

[Idie9xx]

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn các điều kiện sau:

1) $f(x+f(y))=y+f(x)$ với mọi $x,y \in \mathbb{R}$

2) Với mọi $x\neq 0$, tập hợp $\begin{Bmatrix} \dfrac{f(x)}{x} \end{Bmatrix}$ là tập hợp hữu hạn

Thay $x=0$ vào $1)$ có $f(f(y))=y+f(0)\Rightarrow f$ song ánh.

Ta có $f(f(x)+f(y))=y+f(f(x))=y+x+f(0)=f(f(x+y))$

$\Rightarrow f(x+y)=f(x)+f(y)$

$\Rightarrow f(q)=q,\forall q\in \mathbb{Q}$ (do $f(f(x))=x$)

Ta có $f(q+r)=f(q)+f( r )=q+r+(f( r )-r),\forall q\in \mathbb{Q},r$ là số vô tỉ.

$\Rightarrow \dfrac{f(q+r)}{q+r}=1+\dfrac{f( r )-r}{q+r},\forall q\in \mathbb{Q}$

Nếu $f( r )-r\neq 0\Rightarrow \dfrac{f(q+r)}{q+r}$ tồn tại vô số giá trị khác nhau với mỗi số hữu tỉ $q$ mâu thuẫn với $2)$

Nên $f( r )=r$

Vậy hàm thỏa là $f(x)=x$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 19-10-2013 - 13:27