Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sao cho
$$f(x)=\max_{y\in\mathbb{R}}\begin{Bmatrix} xy-f(y) \end{Bmatrix},$$ với mọi $x\in \mathbb{R}$
$f(x)=\max_{y\in\mathbb{R}}\begin{Bmatrix} xy-f(y) \end{Bmatrix}$
Bắt đầu bởi AnnieSally, 19-10-2013 - 14:51
#1
Đã gửi 19-10-2013 - 14:51
AnnieSally
-
- Thành viên
-
- 647 Bài viết
Thiếu úy
#2
Đã gửi 19-10-2013 - 15:31
Idie9xx
-
- Thành viên
-
- 319 Bài viết
Sĩ quan
Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sao cho
$$f(x)=\max_{y\in\mathbb{R}}\begin{Bmatrix} xy-f(y) \end{Bmatrix},$$ với mọi $x\in \mathbb{R}$
Ta có $f(x)\geq xy-f(y)\Rightarrow f(x)\geq \dfrac{x^2}{2}$
Ta thấy với mỗi $x$ tồn tại $a$ thỏa $f(x)=xa-f(a)$
$\Rightarrow \dfrac{x^2}{2}\leq f(x)=xa-f(a)\leq xa-\dfrac{a^2}{2}\leq \dfrac{x^2}{2}$
$\Rightarrow f(x)=\dfrac{x^2}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 19-10-2013 - 15:32
- AnnieSally yêu thích
$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
