1 reply to this topic

[Bich Van]

Cho dãy vô hạn các chữ số. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$, nguyên tố cùnh nhau với $10$, trong dãy vô hạn trên tồn tại một nhóm chữ số liên tiếp, mà số tạo bởi các chữ số trong nhóm (viết theo thứ tự chỉ số lớn đứng trước) chia hết cho $n$

[AnnieSally]

Cho dãy vô hạn các chữ số. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$, nguyên tố cùnh nhau với $10$, trong dãy vô hạn trên tồn tại một nhóm chữ số liên tiếp, mà số tạo bởi các chữ số trong nhóm (viết theo thứ tự chỉ số lớn đứng trước) chia hết cho $n$

Cho dãy các chữ số $a_1,a_2,...,a_n,...$. Chúng ta xét các số 

$$A_1=\overline{a_1},A_2=\overline{a_2a_1},...,A_n=\overline{a_na_{n-1}...a_1},A_{n+1}=\overline{a_{n+1}...a_1}$$

Vì số lượng những số này là $n+1$, còn số lượng khả năng của số dư khi chia chúng cho $n$ là $n$, nên theo nguyên lý Dirichlet tồn tại ít nhất hai số cho cùng số dư ta kí hiệu chúng là $A_i$ và $A_j$, $(i<j)$.

Khi đó hiệu $A_j-A_i$ chia hết cho $n$. Hay nói cách khác:

$$A_j-A_i=\overline{a_j...a_1}-\overline{a_i...a_1}=\overline{a_j...a_{i-1}}.10^{j-i+1}$$

Vì $(n,10)=1$ nên $\overline{a_j...a_{i-1}}$ chia hết cho $n$$.\square$

Edited by AnnieSally, 20-10-2013 - 10:29.