Chủ đề này có 5 trả lời

[l4lzTeoz]

Cho a>0, b>0 , ab=1 . Chứng minh

$\frac{a^{3}}{1+b}+\frac{b^{3}}{1+a}\geq 1$

[hoctrocuanewton]

Xin lỗi mình nhầm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 21-10-2013 - 21:35

[Rias Gremory]

$\frac{a^{3}}{1+b}+\frac{b^{3}}{1+a}=\frac{a^{4}}{1+ab}+\frac{b^{4}}{1+ab}\geq \frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{2+2ab}\geq \frac{4a^{2}b^{2}}{2+2ab}$

mà ab=1 nên được đpcm

Phải $=\frac{a^{4}}{a+ab}+\frac{b^{4}}{b+ab}$ chứ bạn!!

[Tran Nguyen Lan 1107]

$\frac{a^{3}}{1+b}+\frac{b^{3}}{1+a}=\frac{a^{4}}{1+ab}+\frac{b^{4}}{1+ab}\geq \frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{2+2ab}\geq \frac{4a^{2}b^{2}}{2+2ab}$

mà ab=1 nên được đpcm

Nhầm rồi kìa

[Rias Gremory]

Cho a>0, b>0 , ab=1 . Chứng minh

$\frac{a^{3}}{1+b}+\frac{b^{3}}{1+a}\geq 1$

$\frac{a^{3}}{1+b}+\frac{1+b}{4}+\frac{1}{2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^{3}(1+b).1}{(1+b).4.2}}=\frac{3a}{2}$

Tương tự : $\frac{b^{3}}{1+a}+\frac{1+a}{4}+\frac{1}{2}\geq \frac{3b}{2}$

$\Rightarrow \frac{a^{3}}{1+b}+\frac{b^{3}}{1+a}+\frac{a+b+2}{4}+1\geq \frac{3(a+b)}{2}$

$\Rightarrow \frac{a^{3}}{1+b}+\frac{b^{3}}{1+a}\geq \frac{6(a+b)-(2+a+b)}{4}-1=\frac{5(a+b)-2}{4}\geq \frac{10\sqrt{ab}-2}{4}-1=1$

[leduylinh1998]

Áp dụng BĐT Trê bư sép, ta có:  $\frac{1}{2}\left ( ab+1 \right )\geq \frac{1}{4}\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )$

$\Leftrightarrow \left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )\leq 4$

Lại có: $\frac{a^{3}}{b+1}+\frac{b^{3}}{a+1}=\frac{a^{4}}{ab+a}+\frac{b^{4}}{ba+b}=\frac{a^{4}}{a+1}+\frac{b^{4}}{b+1}$

áp dụng BĐt Cauchy, ta có:

$\frac{a^{4}}{a+1}+\frac{b^{4}}{b+1}\geq 2\sqrt{\frac{a^{4}b^{4}}{(a+1)(b+1)}}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1$