Chủ đề này có 1 trả lời

[25 minutes]

Cho các số dương $x_1,x_2,...x_n$ thỏa mãn $\frac{1}{1+x_1}+\frac{1}{1+x_2}+...+\frac{1}{1+x_n}=1$

Chứng minh rằng $\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+...+\sqrt{x_n}\geqslant (n-1)(\frac{1}{\sqrt{x_1}}+\frac{1}{\sqrt{x_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{x_n}})$

[Juliel]

Cho các số dương $x_1,x_2,...x_n$ thỏa mãn $\frac{1}{1+x_1}+\frac{1}{1+x_2}+...+\frac{1}{1+x_n}=1$

Chứng minh rằng $\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+...+\sqrt{x_n}\geqslant (n-1)(\frac{1}{\sqrt{x_1}}+\frac{1}{\sqrt{x_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{x_n}})$

 

Lời giải :

Đặt $a_{i}=\dfrac{1}{1+x_i},\forall \;i=\overline{1,n}\Rightarrow x_i=\frac{1-a_i}{a_i}$.

Từ đó giả thiết được viết lại : $a_1+a_2+...+a_n=1$

Cần chứng minh :

$\sqrt{\dfrac{1-a_1}{a_1}}+\sqrt{\dfrac{1-a_2}{a_2}}+...+\sqrt{\dfrac{1-a_n}{a_n}}\geq (n-1)\left ( \sqrt{\dfrac{a_1}{1-a_1}}+\sqrt{\dfrac{a_2}{1-a_2}}+...+\sqrt{\dfrac{a_n}{1-a_n}} \right )\Leftrightarrow \sum_{i=1}^{n}\frac{1-na_i}{\sqrt{a_i-a_i^2}}\geq 0$

Không mất tính tổng quát, ta giả sử :$a_1\geq a_2\geq ...\geq a_n$

Khi đó dễ thấy $\left\{\begin{matrix} 1-na_1\leq 1-na_2\leq ...\leq 1-na_n & & \\ \dfrac{1}{\sqrt{a_1-a_1^2}}\leq \dfrac{1}{\sqrt{a_2-a_2^2}}\leq ...\leq \dfrac{1}{\sqrt{a_n-a_n^2}}& & \end{matrix}\right.$

Áp dụng BĐT $TChebyshev$, ta có :

$\dfrac{1-na_1}{\sqrt{a_1-a_1^2}}+\dfrac{1-na_2}{\sqrt{a_2-a_2^2}}+...+\frac{1-na_n}{\sqrt{a_n-a_n^2}}\geq \dfrac{1}{n}\left ( 1-na_1+1-na_2+..+1-na_n \right )\left ( \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{a_i-a_i^2}} \right )=0$

Như vậy ta có điều phải chứng minh.

 

Cách này thầy em bày cho   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 04-11-2013 - 23:22