Chủ đề này có 12 trả lời

[minhtrinh13]

Mình mới vào diển đàn không biết post hỏi như vậy được không? Xin mod cho em hỏi các bro với ạ?

Chứng minh:

$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+...+\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}>4$

Mình chỉ chứng minh được nó >3,8 thôi?

Mong các bro giúp đỡ. Cám ơn rất nhiều!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtrinh13: 22-10-2013 - 18:16

[1110004]

Làm cho vui nha!!!!

ta có

$\sqrt{80}-\sqrt{79}>\frac{1}{20}$

$\Leftrightarrow 20\sqrt{80}>20\sqrt{79}+1$

$\Leftrightarrow 399>40\sqrt{79}$  (hiển nhiên đúng) 

vậy $\sqrt{80}-\sqrt{79}>\frac{1}{20}$

mà  $S=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+...+\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}$ 

        $=\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+...+\sqrt{80}-\sqrt{79}> 80(\sqrt{80}-\sqrt{79})> \frac{80}{20}=4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 1110004: 22-10-2013 - 18:38

[minhtrinh13]

Mình chứng minh được >3,8 không biết có làm tròn là 4 được ko? Chứ bài của bạn mình không hiểu? Bạn có thể giải cụ thể hơn được không dòng cuối mình không hiểu?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtrinh13: 22-10-2013 - 19:09

[Thao Hien]

 

Làm cho vui nha!!!!

ta có

$\sqrt{80}-\sqrt{79}>\frac{1}{20}$

$\Leftrightarrow 20\sqrt{80}>20\sqrt{79}+1$

$\Leftrightarrow 399>40\sqrt{79}$  (hiển nhiên đúng) 

vậy $\sqrt{80}-\sqrt{79}>\frac{1}{20}$

mà  $S=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+...+\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}$ 

        $=\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+...+\sqrt{80}-\sqrt{79}> 80(\sqrt{80}-\sqrt{79})> \frac{80}{20}=4$

 

phần cuối : bạn nhân liên hợp vào
$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{(\sqrt{2}-\sqrt{1})(\sqrt{2}+\sqrt{1})}=\sqrt{2}-\sqrt{1}$

[minhtrinh13]

Chổ lượng liên hợp mình hiểu nhưng phần còn lại là sao nhỉ? Phần lớn hơn 80 mình không hiểu?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtrinh13: 22-10-2013 - 19:38

[Thao Hien]

Chổ lượng liên hợp mình hiểu nhưng phần còn lại là sao nhỉ? Phần lớn hơn 80 mình không hiểu?

vì ở đây có 40 số hạng tăng dần nên tổng > số số hạng nhân với số hạng lớn nhất

[minhtrinh13]

vì ở đây có 40 số hạng tăng dần nên tổng > số số hạng nhân với số hạng lớn nhất

Tính chất này mình chưa rõ? Bạn chỉ cụ thể được không?

[Thao Hien]

Hình như sai thì phải. Mình nhầm sang cái 1+2+...+n<n^2 thì phải

[minhtrinh13]

Vậy là bài giải sai rùi phải hk? Mình chứng minh dc >3,8 chắc làm tròn là 4 luôn quá? Có ai biết chỉ mình với?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtrinh13: 22-10-2013 - 20:10

[chanhquocnghiem]

Vậy là bài giải sai rùi phải hk? Mình chứng minh dc >3,8 chắc làm tròn là 4 luôn quá? Có ai biết chỉ mình với?

Đặt $S_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+...+\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}$

$S_{2}=\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}+...+\frac{1}{\sqrt{80}+\sqrt{81}}$

---> $S_{1}+S_{2}=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+...+\frac{1}{\sqrt{80}+\sqrt{81}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{4}+...+\sqrt{81}-\sqrt{80}=\sqrt{81}-\sqrt{3}$

Dễ thấy $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}> \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}$; $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}> \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{8}}$; ...

---> $S_{1}> S_{2}$ ---> $S_{1}> \frac{S_{1}+S_{2}}{2}=\frac{\sqrt{81}-\sqrt{3}}{2}=\frac{9-\sqrt{3}}{2}$

Vế trái của BĐT đã cho là $S=S_{1}+\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}=S_{1}+\sqrt{2}-1> \frac{9-\sqrt{3}}{2}+\sqrt{2}-1=\frac{7+2\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2}$

Vì $2\sqrt{2}-\sqrt{3}> 1$ nên ta có $S> \frac{7+1}{2}=4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 22-10-2013 - 22:07

[minhtrinh13]

Đặt $S_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+...+\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}$

$S_{2}=\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}+...+\frac{1}{\sqrt{80}+\sqrt{81}}$

---> $S_{1}+S_{2}=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+...+\frac{1}{\sqrt{80}+\sqrt{81}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{4}+...+\sqrt{81}-\sqrt{80}=\sqrt{81}-\sqrt{3}$

Dễ thấy $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}> \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}$; $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}> \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{8}}$; ...

---> $S_{1}> S_{2}$ ---> $S_{1}> \frac{S_{1}+S_{2}}{2}=\frac{\sqrt{81}-\sqrt{3}}{2}=\frac{9-\sqrt{3}}{2}$

Vế trái của BĐT đã cho là $S=S_{1}+\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}=S_{1}+\sqrt{2}-1> \frac{9-\sqrt{3}}{2}+\sqrt{2}-1=\frac{7+2\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2}$

Vì $2\sqrt{2}-\sqrt{3}> 1$ nên ta có $S> \frac{7+1}{2}=4$

Cám ơn bạn mình đã giải được

[kfcchicken98]

Mình mới vào diển đàn không biết post hỏi như vậy được không? Xin mod cho em hỏi các bro với ạ?

Chứng minh:

$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+...+\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}>4$

Mình chỉ chứng minh được nó >3,8 thôi?

Mong các bro giúp đỡ. Cám ơn rất nhiều!

có cách giải ngắn hơn: 
công thức tổng quát: $\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
suy ra dãy trên tuơng đương: $\sqrt{2}-1+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\sqrt{6}-\sqrt{5}+...+\sqrt{80}-\sqrt{79}>\frac{80}{20}=4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kfcchicken98: 23-10-2013 - 05:32

[kfcchicken98]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kfcchicken98: 23-10-2013 - 05:32