Chủ đề này có 3 trả lời

[240495]

tìm các giới hạn sau:

1.$\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( \sqrt{2} .\sqrt[2^{2}]{2}...\sqrt[2^{n}]{2}\right )$

2.$\lim_{n\rightarrow \infty }\left [ \frac{1^{2}}{n^{3}}+\frac{3^{2}}{n^{3}}+...+\frac{\left ( 2n-1 \right )^{2}}{n^{3}} \right ]$

 

[TMW]

tìm các giới hạn sau:

1.$\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( \sqrt{2} .\sqrt[2^{2}]{2}...\sqrt[2^{n}]{2}\right )$

Giải quyết bài đầu tiên trước:

Đặt U(i) = $\sqrt[2^{i}]{2}$

Thì tích S = U(1).U(2). ... .U(n) = $\sqrt{2} .\sqrt[2^{2}]{2}...\sqrt[2^{n}]{2}\right )$

Ta để ý rằng U(n+1).U(n+1) = U(n)

Do đó S < 2

Từ đó ta dễ dàng có được  $\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( \sqrt{2} .\sqrt[2^{2}]{2}...\sqrt[2^{n}]{2}\right )$ = 2

[kfcchicken98]

bài 2 là  0, do $n^{3}>(2n-1)^{2}$ khi n lớn vô cùng 

[Mrnhan]

tìm các giới hạn sau:

1.$\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( \sqrt{2} .\sqrt[2^{2}]{2}...\sqrt[2^{n}]{2}\right )$

2.$\lim_{n\rightarrow \infty }\left [ \frac{1^{2}}{n^{3}}+\frac{3^{2}}{n^{3}}+...+\frac{\left ( 2n-1 \right )^{2}}{n^{3}} \right ]$

 

1. $A=\sqrt[2^1]{2}\sqrt[2^2]{2}...\sqrt[2^n]{2}=2^{\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^n}}=2^{\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n+1}}}{1-\frac{1}{2}}}=2^{1-\frac{1}{2^n}}\to 2$

 

2. $B=\frac{1^{2}}{n^{3}}+\frac{3^{2}}{n^{3}}+...+\frac{\left ( 2n-1 \right )^{2}}{n^{3}}=\frac{1}{n^3}\sum_{i=1}^{n}(2i-1)^2=\frac{1}{n^3}\sum_{i=1}^{n}\left ( 4i^2-4i+1 \right )=\frac{1}{n^3}\left [ \frac{4n(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{4n(n+1)}{2}+n \right ]\to \frac{8}{6}=\frac{4}{3}$