Chủ đề này có 7 trả lời

[VTK]

$$a) \left | 2a - b \right | >= 2\sqrt{5} ( 16a^2 - 9b^2 >= 144 ) $$

$$b) \frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{1}{c} < \frac{1}{abc} ( a,b,c > 0 ; a^2 + b^2 + c^2 = 5/3)$$

$$c) \sqrt{a+b} + \sqrt{b+c} + \sqrt{c+a} \leq 2\sqrt{6} ( a,b,c \geq 0 ; a + b + c = 4)$$

$$d) \frac{1}{a^3 +b^3 + 1} + \frac{1}{b^3 + c^3 + 1} + \frac{1}{c^3 + a^3 + 1} \leq 1 ( a,b,c > 0 ; abc = 1)$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi VTK: 23-10-2013 - 21:45

[letankhang]

 

$$c) \sqrt{a+b} + \sqrt{b+c} + \sqrt{c+a} \leq 2\sqrt{6} ( a,b,c \geq 0 ; a + b + c = 4)$$

 

Câu c :

Áp dụng BĐT Bunhiacopski :

$(\sqrt{(a+b).\frac{8}{3}}+\sqrt{(b+c).\frac{8}{3}}+\sqrt{(c+a).\frac{8}{3}})^{2}\leq (a+b+b+c+c+a)(\frac{8}{3}.3)=64\Rightarrow \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leq 2\sqrt{6}$

[nghiemthanhbach]

$$a) \left | 2a - b \right | >= 2\sqrt{5} ( 16a^2 - 9b^2 >= 144 ) $$

$$b) \frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{1}{c} < \frac{1}{abc} ( a,b,c > 0 ; a^2 + b^2 + c^2 = 5/3)$$

$$c) \sqrt{a+b} + \sqrt{b+c} + \sqrt{c+a} \leq 2\sqrt{6} ( a,b,c \geq 0 ; a + b + c = 4)$$

$$d) \frac{1}{a^3 +b^3 + 1} + \frac{1}{b^3 + c^3 + 1} + \frac{1}{c^3 + a^3 + 1} \leq 1 ( a,b,c > 0 ; abc = 1)$$

Mình sẽ chém câu c vậy

Bài này ta sẽ sử dụng cauchy điểm rơi:

$\sqrt{(a+b)\frac{8}{3}}\leq \frac{a+b+\frac{8}{3}}{2}\rightarrow \sqrt{\frac{8}{3}}\sum \sqrt{a+b}\leq \frac{2\sum a+\frac{8}{3}.3}{2}=4+4=8\rightarrow Q.E.D$

Sau khi rút gọn khúc cuối nhé

[Johan Liebert]

$d)a^3+b^3 \geq ab(a+b)$

 

$\leftrightarrow \dfrac{1}{a^3+b^3+1} \leq  \dfrac{1}{ab(a+b+c)}=\dfrac{c}{a+b+c}$

 

Tương tự cộng từng vế

 

[Thao Hien]

$$a) \left | 2a - b \right | >= 2\sqrt{5} ( 16a^2 - 9b^2 >= 144 ) $$

$$b) \frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{1}{c} < \frac{1}{abc} ( a,b,c > 0 ; a^2 + b^2 + c^2 = 5/3)$$

$$c) \sqrt{a+b} + \sqrt{b+c} + \sqrt{c+a} \leq 2\sqrt{6} ( a,b,c \geq 0 ; a + b + c = 4)$$

$$d) \frac{1}{a^3 +b^3 + 1} + \frac{1}{b^3 + c^3 + 1} + \frac{1}{c^3 + a^3 + 1} \leq 1 ( a,b,c > 0 ; abc = 1)$$

d) Trước hết ta CM $a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)$
=>$\frac{1}{a^{3}+b^{3}+1}\leq \frac{1}{ab(a+b)+abc}$
cmtt...
=>VT$\leq \sum \frac{1}{ab(a+b+c)}=\sum \frac{a+b+c}{abc(a+b+c)}=1$

[Thao Hien]

câu c bình phương lên dùng bunhia

[VTK]

Các bạn có ý kiến gì về các câu a và b không?  Câu a mình đã tìm được cách làm theo cách chân phương nhất nên rất dài Mình muốn tham khảo cách giải ngắn gọn hơn tí

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi VTK: 23-10-2013 - 22:57

[VTK]

$$ Đặt \sqrt{a+b} = x ; \sqrt{b+c} = y ; \sqrt{c+a} = z ; $$

Dễ dàng Cm Đc : $$(x+y+z)^2 \leq 3(a^2 + b^2 + c^2) = 3(a+b+b+c+c+a) = 24 => x+y+z \leq 2\sqrt{6} <=> đpcm$$

P/s : các bạn có ý kiến gì về câu a) ko ? 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi VTK: 24-10-2013 - 19:14