Chủ đề này có 9 trả lời

[yuneharachie]

Chứng minh rằng: lập phương của một số nguyên a bất kì trừ đi 13 lần số nguyên a đó thì luôn chia hết cho 6.

[chanhquocnghiem]

Chứng minh rằng: lập phương của một số nguyên a bất kì trừ đi 13 lần số nguyên a đó thì luôn chia hết cho 6.

Xét số $A=a^3-13a=a(a^2-13)$ ($a\in Z$).Ta phải cm $A\vdots 6$

$1)$ Cm $A\vdots 2$

...Có 2 trường hợp :

+ Nếu $a$ chẵn.Khi đó hiển nhiên $A=a(a^2-13)$ chia hết cho $2$

+ Nếu $a$ lẻ ---> $a^2-13$ chẵn ---> $A$ chia hết cho $2$

$2)$ Cm $A\vdots 3$

...Có 2 trường hợp :

+ Nếu $a\equiv 0(mod3)$ ---> $A$ chia hết cho $3$

+ Nếu $a\equiv 1$ hoặc $2$ ($mod 3$) ---> $a^2\equiv 1$ ($mod3$) ---> $a^2-13\equiv 0(mod3)$ ---> $A$ chia hết cho $3$

Như vậy trong mọi trường hợp ta có $A\vdots 2$ và $A\vdots 3$

Vì $2$ và $3$ nguyên tố cùng nhau nên từ đó suy ra $A\vdots 6$ (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 24-10-2013 - 07:20

[yuneharachie]

Xét số $A=a^3-13a=a(a^2-13)$ ($a\in Z$).Ta phải cm $A\vdots 6$

$1)$ Cm $A\vdots 2$

...Có 2 trường hợp :

+ Nếu $a$ chẵn.Khi đó hiển nhiên $A=a(a^2-13)$ chia hết cho $2$

+ Nếu $a$ lẻ ---> $a^2-13$ chẵn ---> $A$ chia hết cho $2$

$2)$ Cm $A\vdots 3$

...Có 2 trường hợp :

+ Nếu $a\equiv 0(mod3)$ ---> $A$ chia hết cho $3$

+ Nếu $a\equiv 1$ hoặc $2$ ($mod 3$) ---> $a^2\equiv 1$ ($mod3$) ---> $a^2-13\equiv 0(mod3)$ ---> $A$ chia hết cho $3$

Như vậy trong mọi trường hợp ta có $A\vdots 2$ và $A\vdots 3$

Vì $2$ và $3$ nguyên tố cùng nhau nên từ đó suy ra $A\vdots 6$ (đpcm)

bạn ơi, cho mình hỏi mấy chỗ Mod 3 là gì vậy? với lại 3 dấu = nữa, mình không hiểu lắm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yuneharachie: 24-10-2013 - 08:19

[chanhquocnghiem]

bạn ơi, cho mình hỏi mấy chỗ Mod 3 là gì vậy? với lại 3 dấu = nữa, mình không hiểu lắm

Ủa, học chuyên Toán về tính chia hết mà không biết mấy cái ký hiệu đó sao ?

Đó là ký hiệu đồng dư.

$a\equiv 1(mod3)$ có nghĩa là $a$ và $1$ có cùng số dư khi chia cho $3$

Ví dụ $123\equiv 48\equiv 8\equiv 3(mod5)$ nghĩa là những số đó có cùng số dư khi chia cho $5$

[yuneharachie]

Ủa, học chuyên Toán về tính chia hết mà không biết mấy cái ký hiệu đó sao ?

Đó là ký hiệu đồng dư.

$a\equiv 1(mod3)$ có nghĩa là $a$ và $1$ có cùng số dư khi chia cho $3$

Ví dụ $123\equiv 48\equiv 8\equiv 3(mod5)$ nghĩa là những số đó có cùng số dư khi chia cho $5$

Thật ra mình chưa học đến phần này mà lấy ra làm trước đó bạn, cám ơn bạn nhiều vì đã giúp mình!

[yuneharachie]

bạn ơi, cho mình hỏi mấy chỗ Mod 3 là gì vậy? với lại 3 dấu = nữa, mình không hiểu lắm

 

Ủa, học chuyên Toán về tính chia hết mà không biết mấy cái ký hiệu đó sao ?

Đó là ký hiệu đồng dư.

$a\equiv 1(mod3)$ có nghĩa là $a$ và $1$ có cùng số dư khi chia cho $3$

Ví dụ $123\equiv 48\equiv 8\equiv 3(mod5)$ nghĩa là những số đó có cùng số dư khi chia cho $5$

bạn ơi sao a đồng dư vs 1 và 2 rồi => a^2 đồng dư vs 1 vậy và còn a^2 -13=0 nữa?????? mình k hiểu lắm bước này   Với lại bạn có cách giải nào theo kiểu THCS không?  Mình chưa học đồng dư vs 1 vs 2 chia cho 3 mà binh` phương lên thì chia 3 dư1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yuneharachie: 24-10-2013 - 10:43

[lovemath99]

Lớp 6 đã đc dạy đồng dư rồi mà ta.....đồng dư là kiến thức của THCS mà...

[chanhquocnghiem]

bạn ơi sao a đồng dư vs 1 và 2 rồi => a^2 đồng dư vs 1 vậy và còn a^2 -13=0 nữa?????? mình k hiểu lắm bước này

+ Nếu $a\equiv 1(mod3)\Rightarrow a^2\equiv 1^2\equiv 1(mod3)$

+ Nếu $a\equiv 2(mod3)\Rightarrow a^2\equiv 2^2\equiv 1(mod3)$

 

Mà ta có $13\equiv 1(mod3)$ nên nếu $a^2\equiv 1(mod3)$ thì $a^2-13\equiv 1-1\equiv 0(mod3)$

Đây là những tính chất của đồng dư, ai đã học qua đều biết.

 

Nếu ko biết về đồng dư thì có thể làm thế này :

+ a chia 3 dư 1 ---> $a^2=(3k+1)^2=9k^2+6k+1$ ---> $a^2$ chia 3 dư $1$

+ a chia 3 dư 2 ---> $a^2=(3k+2)^2=9k^2+12k+4$ ---> $a^2$ chia 3 dư $1$

 

$a^2$ chia 3 dư 1 ---> $a^2=3m+1$ ($m\in N$

---> $a^2-13=3m+1-13=3m-12=3(m-4)$ ---> $a^2-13$ chia hết cho $3$ ---> $A$ chia hết cho $3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 24-10-2013 - 11:05

[yuneharachie]

Xét số $A=a^3-13a=a(a^2-13)$ ($a\in Z$).Ta phải cm $A\vdots 6$

$1)$ Cm $A\vdots 2$

...Có 2 trường hợp :

+ Nếu $a$ chẵn.Khi đó hiển nhiên $A=a(a^2-13)$ chia hết cho $2$

+ Nếu $a$ lẻ ---> $a^2-13$ chẵn ---> $A$ chia hết cho $2$

$2)$ Cm $A\vdots 3$

...Có 2 trường hợp :

+ Nếu $a\equiv 0(mod3)$ ---> $A$ chia hết cho $3$

+ Nếu $a\equiv 1$ hoặc $2$ ($mod 3$) ---> $a^2\equiv 1$ ($mod3$) ---> $a^2-13\equiv 0(mod3)$ ---> $A$ chia hết cho $3$

Như vậy trong mọi trường hợp ta có $A\vdots 2$ và $A\vdots 3$

Vì $2$ và $3$ nguyên tố cùng nhau nên từ đó suy ra $A\vdots 6$ (đpcm)

bạn ơi sao ađồng dư vs 2 thì có a^2 đồng dư với 2 đồng dư với 1 vậy

[chanhquocnghiem]

bạn ơi sao ađồng dư vs 2 thì có a^2 đồng dư với 2 đồng dư với 1 vậy

$a\equiv 2(mod3)\Rightarrow a^2\equiv 2^2(mod3)\Rightarrow a^2\equiv 4(mod3)\Rightarrow a^2\equiv 1(mod3)$

(vì $4\equiv 1(mod3)$