cho xyz=1 $\frac{x}{x^2+2}+\frac{y}{y^2+2}+\frac{z}{z^2+2}\leq 1$
cho xyz=1 $\frac{x}{x^2+2}+\frac{y}{y^2+2}+\frac{z}{z^2+2}\leq 1$
#1
Đã gửi 24-10-2013 - 14:37
#2
Đã gửi 24-10-2013 - 15:59
cho xyz=1 $\frac{x}{x^2+2}+\frac{y}{y^2+2}+\frac{z}{z^2+2}\leq 1$
Áp dụng AM-GM ta có
$\frac{x}{x^2+2}\leqslant \frac{x}{2x+1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4x+2}$
$\Rightarrow \sum \frac{x}{x^2+1}\leqslant \frac{3}{2}-(\frac{1}{4x+2}+\frac{1}{4y+2}+\frac{1}{4z+2})$
Do đó ta chỉ cần chứng minh $\frac{1}{4x+2}+\frac{1}{4y+2}+\frac{1}{4z+2}\geqslant \frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{2x+1}+\frac{1}{2y+1}+\frac{1}{2z+1}\geqslant 1$
Đặt $(x,y,z)=(\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a})\Rightarrow \frac{1}{2x+1}=\frac{1}{\frac{2a}{b}+1}=\frac{b}{2a+b}=\frac{b^2}{2ab+b^2}$
$\Rightarrow \sum \frac{1}{2x+1}=\sum \frac{b^2}{2ab+b^2}$
Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có ngay
$\Rightarrow \sum \frac{1}{2x+1}=\sum \frac{b^2}{2ab+b^2}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{2ab+b^2+2bc+c^2+2ca+a^2}=1$
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$
- Mai Duc Khai, orchid96, sieutoan99 và 6 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 26-03-2021 - 19:15
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được: $\sum \frac{x}{x^2+2}\leq\sum \frac{x}{2x+1}$
Ta cần chứng minh: $\sum \frac{x}{2x+1}\leq 1(*)$
$(*)\Leftrightarrow x+y+z+1\geq 4xyz$ (Đúng do xyz = 1)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
- alexander123 yêu thích
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh