Chủ đề này có 2 trả lời

[shinichikudo201]

Mình có mấy bài này post lên mong các bạn cho đáp án tham khảo:

Bài 1: Cho các số thực a,b,c không âm. Chứng minh:

$4(\sqrt{a^{3}b^{3}}+\sqrt{b^{3}c^{3}}+\sqrt{c^{3}a^{3}})\geq 4c^{3}+(a+b)^{3}$

Bài 2: Cho các số thực dương x;y. Chứng minh:

a,     $\frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}+\frac{(x-y)^{2}(x+3y)(3x+y)}{16(x+y)^{3}}$ 

b,     $x+y+\frac{(x-y)^{2}}{2\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}}\leq \sqrt{2(x^{2}+y^{2})}\leq x+y+\frac{(x-y^)^{2}}{2(x+y)}$

c,     $\frac{a}{\sqrt{4a+5b}}+\frac{2b}{\sqrt{4b^{2}+5ab}}\leq 1$

d,     $\frac{a^{2}}{2b}+\frac{2b^{2}}{a+b}\geq \frac{3}{2}\sqrt{\frac{a^{3}+2b^{3}}{a+2b}}$

Bài 3: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh:

$a^{2}b(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a)\geq 0$

Bài 4: Cho a;b là hai số dương thỏa mãn a+b=1. Chứng minh rằng:

$\frac{a^{2}}{a+1}+\frac{b^{2}}{b+1}\geq \frac{1}{3}$

Bài 5: Cho các số thực a;b;c bất kì; a+b+c=2. Chứng minh:

$(a+b-ab)(b+c-bc)(c+a-ca)\leq 1-abc$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichikudo201: 24-10-2013 - 16:05

[lovemath99]

Bài 4: Cho a;b là hai số dương thỏa mãn a+b=1. Chứng minh rằng:

$\frac{a^{2}}{a+1}+\frac{b^{2}}{b+1}\geq \frac{1}{3}$

Hi, chôm bài dễ nhất

Theo Cauchy-Schwarz thì:

$\dfrac{a^2}{a+1}+\dfrac{b^2}{b+1} \ge \dfrac{(a+b)^2}{a+b+2}=\dfrac{1}{3}$

Dấu $"=" \iff a=b=\dfrac{1}{2}$

[25 minutes]

Bài 1: Cho các số thực a,b,c không âm. Chứng minh:

$4(\sqrt{a^{3}b^{3}}+\sqrt{b^{3}c^{3}}+\sqrt{c^{3}a^{3}})\geq 4c^{3}+(a+b)^{3}$

Bài 2: Cho các số thực dương x;y. Chứng minh:

c,     $\frac{a}{\sqrt{4a+5b}}+\frac{2b}{\sqrt{4b^{2}+5ab}}\leq 1$

d,     $\frac{a^{2}}{2b}+\frac{2b^{2}}{a+b}\geq \frac{3}{2}\sqrt{\frac{a^{3}+2b^{3}}{a+2b}}$

Bài 3: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh:

$a^{2}b(a-b)+b^{2}c(b-c)+c^{2}a(c-a)\geq 0$

Bài 1: Có vẻ không ổn lắm khi cho $a=b=0$ và $c=1$

Bài 2: câu c có thể tham khảo tại đây

          câu d: Đặt $b=c$, bất đẳng thức đã cho trở thành

               $\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\geqslant \frac{3}{2}\sqrt{\frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}}$

Đến đây ta có 1 bất đẳng thức mạnh hơn như sau 

               $\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\geqslant \frac{3}{2}.\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}$

  $\Leftrightarrow \frac{a^2}{b+c}-\frac{a}{2}+\frac{b^2}{a+c}-\frac{b}{2}+\frac{c^2}{a+b}-\frac{c}{2}\geqslant \frac{3}{2}.\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}-\frac{a+b+c}{2}$

 $\Leftrightarrow \sum \frac{a(a-b)+a(a-c)}{b+c}\geqslant \frac{\sum a^2\left [ (a-b)+(a-c) \right ]}{a^2+b^2+c^2}$

 $\Leftrightarrow \sum (a-b)(\frac{a}{b+c}-\frac{b}{c+a})\geqslant \frac{\sum (a-b)(a^2-b^2)}{a^2+b^2+c^2}$

 $\Leftrightarrow \sum (a-b)\frac{(a^2-b^2)+c(a-b)}{(a+c)(b+c)}\geqslant \frac{\sum (a-b)(a^2-b^2)}{a^2+b^2+c^2}$

 $\Leftrightarrow \sum (a-b)^2\left [ \frac{a+b+c}{(a+b)(b+c)}-\frac{a+b}{a^2+b^2+c^2} \right ]\geqslant 0$

Rõ ràng bất đẳng thức trên luôn đúng

Do đó ta chỉ cần chứng minh $\frac{3}{2}.\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}\geqslant \frac{3}{2}\sqrt{\frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}}$

                           $\Leftrightarrow (a^3+b^3+c^3)(a+b+c)\geqslant (a^2+b^2+c^2)^2$

Nhưng bất đẳng thức trên cũng luôn đúng theo Cauchy-Schwarzt

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$ hay $a=b$

Bài 3: Tham khảo tại đây

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 24-10-2013 - 16:38