CMR phương trình sau không có ngiệm nguyên dương $x^{4}-1=(2y+1)^{3}$
CMR phương trình sau không có ngiệm nguyên dương $x^{4}-1=(2y+1)^{3}$
#2
Đã gửi 24-10-2013 - 18:14
CMR phương trình sau không có ngiệm nguyên dương $x^{4}-1=(2y+1)^{3}$
Đặt $a=x^2,b=2y+1$, ta được phương trình :
$$a^{2}-b^{3}=1$$
Từ đây suy ra $$(b+1)(b^2-b+1)=a^2$$
Dễ chứng minh $gcd(b+1,b^2-b+1)=1$ nên $b+1,b^2-b+1$ đều chính phương.
Suy ra $A=(b+1)+(b^2-b+1)=b^2+2\equiv 3\;\;(mod\;4)$, chú ý $b$ lẻ.
Điều này là vô lí vì tổng của hai số chính phương thì chỉ có dạng $4k$ hoặc $4k+1$ hoặc $4k+2$.
Ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét :
- Euler đã chứng minh được rằng phương trình Mordell $a^2-b^3=1$ chỉ có duy nhất nghiệm nguyên dương $(3,2)$, vô lí vì $b$ lẻ.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 24-10-2013 - 18:20
- Near Ryuzaki và Creammy Mami thích
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
#3
Đã gửi 24-10-2013 - 19:12
bạn ơi gcd(b+1,$b^{2}-b+1$) = 3 đc mà
Làm toán là một nghệ thuật mà trong đó người làm toán là một nghệ nhân
#4
Đã gửi 25-10-2013 - 15:28
Cái này mình nghĩ là đúng , bạn tham khảo nha
Đặt $x^{2}= a$ và $2y+1=b$ (a,b>0, b chẵn) $\Rightarrow$ a chẵn. Ta có :
$a^{2}-1=b^{3} \Leftrightarrow \left ( a-1 \right )\left ( a+1 \right )=b^{3}$
Do a chẵn nên $\left ( a-1,a+1 \right )= 1$ , do đó a-1 và a+1 phải là lập phương của một số nguyên
suy ra x=0 , vô lý
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minnam98: 25-10-2013 - 15:32
- Juliel yêu thích
#5
Đã gửi 26-10-2013 - 17:57
bạn ơi gcd(b+1,$b^{2}-b+1$) = 3 đc mà
Ờ, mình nhầm, xin lỗi bạn. Bạn trên có vẻ giải đúng rồi.
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
#6
Đã gửi 04-11-2013 - 18:58
CMR phương trình sau không có ngiệm nguyên dương $x^{4}-1=(2y+1)^{3}$
Bài này có thể là n lẻ $n^{3}+1$ không là số chính phương
em có cách hơi dài
Đặt 2y+1=n GS pt có nghiêm dương đặt $x^{4}=a^{2}
Ta có $(n+1)(n^{2}-n+1)=a^{2}$ Gọi d=(n+1;$(n^{2}-n+1)$) dẽ cm d=1 hoặc d=3
d=1(QED)
d=3 đăt n+1=3k $n^{2}-n+1=3m$(k,m)=1$\rightarrow km=t^{2}$
do đó k,m là số cp
Đặt $m=x^{2}$ta có n=3k-1$\rightarrow m=3k^{2}-3k+1\rightarrow x^{2}=3k^{2}-3k+1$
lấy delta ta được $12x^{2}-3=y^{2}\rightarrow y^{2}\vdots 3\Rightarrow y^{2}=9z^{2}$
y=0 loại
y>0 đặt x=ty$\rightarrow x^{2}(4-3z^{2})=1$(loại)
VẬY ....
Chuyên Vĩnh Phúc
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh