Chủ đề này có 3 trả lời

[25 minutes]

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng

              $\frac{a}{\sqrt{a^2+7ab+b^2}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+7bc+c^2}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+7ca+a^2}}\geqslant 1$

[nguyenqn1998]

chuẩn hóa abc=1

đặt $x=\sqrt{\frac{b}{a}}$ 

$y=\sqrt{\frac{c}{b}}$

$z=\sqrt{\frac{a}{c}}$

Ta có $\frac{a}{\sqrt{a^2+7ab+b^2}}=\frac{1}{x^4+7x^2+1}$

=>$\sum\frac{a}{\sqrt{a^2+7ab+b^2}}=\sum\frac{1}{\sqrt{x^4+7x^2+1}}$

Ta lại có: $\frac{1}{\sqrt{x^4+7x^2+1}} \geq \frac{1}{x^2+x+1}$ <=> $2x(x-1)^2 \geq 0$ (đúng)

=> $\sum\frac{a}{\sqrt{a^2+7ab+b^2}} \geq \sum\frac{1}{x^2+x+1}$ 

dễ dàng chứng minh được: $\sum\frac{1}{x^2+x+1} \geq 1$ bằng cách đặt $x=\frac{mn}{p^2}$ tương tự với x,y.

Q.E.D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenqn1998: 25-10-2013 - 12:24

[25 minutes]

Ta lại có: $\frac{1}{x^4+7x^2+1} \geq \frac{1}{x^2+x+1}$ <=> $2x(x-1)^2 \geq 0$ (đúng)

Xem lại chỗ này 

[nguyenqn1998]

Xem lại chỗ này 

hihi e sửa lại rồi ạ!