SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
CÀ MAU Năm học 2013-2014
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: ngày 27 tháng 10 năm 2013.
Câu 1:
1) Giải phương trình: $\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{x+1}=1+\sqrt{1-x}$
2) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} sin^{y}x+cos^{y}x-cos^{2}x+sin^{2}x=0\\ A_{y}^{2}-C_{y}^{2}-y-2=0 \\y\leq 5 \end{matrix}\right.$
(Trong đó $A_{n}^{k},C_{n}^{k}$ lần lượt là các chỉnh hợp chập k, số tổ hợp chập k của n phần tử).
Câu 2: Trên mặt phẳng có hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng: $d_{1}:x-2y+2=0, d_{2}:x-y+\frac{\sqrt{6}}{3}=0$
và tam giác ABC đều có diện tích bằng $\sqrt{3}$, có trực tâm I nằm trên $d_{1}$. Điểm I có hoành độ dương. Đường thẳng $d_{2}$ tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tìm tọa độ các giao điểm của đường thẳng $d_{1}$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Câu 3: Cho hàm số: $f(x)=\frac{x^{2}-kx+1}{x^{2}+kx+1},0<k<2$ , k là tham số thực. Gỉa sử f(x) có giá trị lớn nhất là M, giá trị nhỏ nhất là m. Tìm k sao cho $M+m=\frac{10}{3}$.
Câu 4:
1) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng C'D bằng a. Tính theo a thể tích của khối lập phương ABCD.A'B'C'D' và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng A'BD.
2) Gỉa sử mỗi điểm của không gian được tô bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Chứng tỏ rằng luôn tìm được một tam giác có ba đỉnh cùng màu, sao cho độ dài ba cạnh của tam giác đó lần lượt là $1,\sqrt{2},\sqrt{3}$.
Câu 5:
Cho x > 2 và $xyz=\frac{2}{3}$. Chứng minh rằng:
$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}+z^{2}>xy+yz+zx$.
--------------------- HẾT ---------------------
P/s: Đề này không khó, nhưng phải kĩ, có được câu 4.2 và câu 5 là khó nhất đề này !!!