Chủ đề này có 8 trả lời

[AnnieSally]

Ngày thi thứ nhất

 

Câu 1: (5 điểm)

Cho tam giác nhọn $ABC$. Lấy điểm $A_1$ thuộc cạnh $BC$. Gọi $B_1$ là hình chiếu của $A_1$ lên $CA$, $C_1$ là hình chiếu của $B_1$ lên AB, $A_2$ là hình chiếu của $C_1$ lên BC, $B_2$ là hình chiếu của $A_2$ lên $CA$ và cứ như vậy, ta xác định được dãy điểm $A_1, A_2, A_3, ..., A_{2013}$ trên $BC$.

a) Chứng minh rằng $$BA_2 = BC\cos B\sin A\sin C - BA_1 \cos A\cos B\cos C$$.

b) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một vị trí của $A_1$ sao cho $A_{2013}$ trùng với $A_1$.

 

Câu 2: (5 điểm)

Cho hàm số $$y=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-3x-\frac{1}{x}.$$

a) Chứng minh rằng đồ thị hàm số có $3$ điểm cực trị.

b) Viết phương trình parabol đi qua $3$ điểm cực trị đó.

 

Câu 3: (5 điểm)

Cho tứ giác $ABCD$ ngoại tiếp một đường tròn. Gọi $K$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$. Biết rằng $$\angle ABD+\angle ACB=\angle ACD+\angle ADB.$$

a) Gọi M là điểm trên tia AB và N là điểm trên tia AD sao cho $AM.AB=AN.AD=AC^2$. Chứng minh rằng $CM=CN$.

b) Chứng minh rằng $K$ là trung điểm $AC$ hoặc $K$ là trung điểm $BD$.

 

Câu 4: (5 điểm)

Số nguyên dương $x$ được gọi là số thú vị nếu hai chữ số tận cùng của $x$ và $x^2$ giống nhau. Ví dụ các số $1,25, 100$ là các số thú vị. Hỏi có bao nhiêu số thú vị trong tập hợp tất cả các số nguyên dương không lớn hơn $2013$?

 

************

 

Ngày thi thứ hai

 

Câu 5: (6 điểm)

Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa điều kiện

$$\dfrac{1}{1+{{a}^{3}}}+\dfrac{1}{1+{{b}^{3}}} + \dfrac{1}{1+{{c}^{3}}}+\dfrac{1}{1+{{d}^{3}}}=2.$$

Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức

$$\dfrac{1-a}{1-a+{{a}^{2}}}+\dfrac{1-b}{1-b+{{b}^{2}}}+\dfrac{1-c}{1-c+{{c}^{2}}}+\dfrac{1-d}{1-d+{{d}^{2}}}\ge 0.$$

 

Câu 6: (7 điểm)

CLB du khảo có $n$ thành viên. Năm ngoái CLB đã tổ chức được $6$ chuyến du khảo, mỗi chuyến có $5$ thành viên tham dự. Một thành viên CLB nhận xét rằng hai chuyến du khảo bất kỳ có không quá hai thành viên chung. Hỏi CLB đó có ít nhất bao nhiêu thành viên?

 

Câu 7: (7 điểm)

Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân nội tiếp trong đường tròn $(O)$ và ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Gọi $P$ là trung điểm cung $BC$ không chứa $A$ của $(O)$ và $J$ là điểm đối xứng với $I$ qua $O$. Giả sử tiếp tuyến tại $I$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $IBC$ cắt đường thẳng $BC$ tại $M$. Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ lên đường thẳng $OI$.

1. Chứng minh rằng tam giác $JPM$ vuông tại $P$.

2. Gọi $D$ là trung điểm $BC$ và $K$ là giao điểm của $ID$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ODH$. Chứng minh rằng $H, K, A$ thẳng hàng.

 

--- Hết ---

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnnieSally: 27-10-2013 - 19:55

[PT42]

Câu 4

x là số thú vị $\Leftrightarrow$ $x^{2} - x = x(x - 1) \vdots 100$ $\Leftrightarrow x(x - 1)$ chia hết cho 4 và 25. (vì (4, 25) = 1)

$x(x - 1) \vdots 25$ $\Leftrightarrow$ x = 25k hoặc x = 25k + 1 với k là số nguyên.

 

- Nếu x = 25k thì $25k(25k - 1) \vdots 4$ $\Leftrightarrow$ $ k(25k - 1) = k(k -1) + 24k^{2} \vdots 4$

$\Leftrightarrow$ $ k(k -1) \vdots 4$$\Leftrightarrow$ k = 4t hoặc k = 4t + 1 với t là số nguyên

$\Leftrightarrow$ x = 25.4t = 100t hoặc x = 25(4t + 1) = 100t + 25 với t là số nguyên.

 

- Nếu x = 25k + 1 thì $ (25k + 1). 25k \vdots 4$$\Leftrightarrow$ $ (25k + 1)k = 24k^{2} + k(k + 1)\vdots 4$

$\Leftrightarrow k(k + 1) \vdots 4$ $\Leftrightarrow$ k = 4t hoặc k = 4t + 3 với t là số nguyên.

$\Leftrightarrow$ x = 25.4t + 1 = 100t + 1 hoặc x = 25 (4t + 3) + 1 = 100t + 76 với t là số nguyên.

 

x = 100 t thì $1 \leq 100t \leq 2013$ $\Rightarrow 1 \leq t \leq 20$ $\Rightarrow$ có 20 số thỏa mãn.

x = 100t + 25 thì $1 \leq 100t + 25 \leq 2013$ $\Rightarrow 0 \leq t \leq 19$ $\Rightarrow$ có 20 số thỏa mãn.

x = 100t + 1 thì $1 \leq 100t + 1 \leq 2013$ $\Rightarrow 0 \leq t \leq 20$ $\Rightarrow$ có 21 số thỏa mãn.

x = 100t + 76 thì $1 \leq 100t + 76 \leq 2013$ $\Rightarrow 0 \leq t \leq 19$ $\Rightarrow$ có 20 số thỏa mãn.

 

$\Rightarrow$ Trong các số nguyên dương không lớn hơn 2013 có tất cả 20.3 + 21 = 81 số thú vị.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT42: 27-10-2013 - 20:24

[LNH]

Câu 4: (5 điểm)

Số nguyên dương $x$ được gọi là số thú vị nếu hai chữ số tận cùng của $x$ và $x^2$ giống nhau. Ví dụ các số $1,25, 100$ là các số thú vị. Hỏi có bao nhiêu số thú vị trong tập hợp tất cả các số nguyên dương không lớn hơn $2013$?

$x$ là số thú vị khi và chỉ khi $x\left ( x-1 \right ) \vdots 100$

Suy ra: $x=4k$ hoặc $x=4k+1$

$x=25q$ hoặc $x=25q+1$

Theo định lí thặng dư Trung Hoa ta tìm ra được $x=100k,100k+1,100k+25,100k+76$

Vậy số số thú vị thoả yêu cầu đề bài là $82$

[AnnieSally]

Câu 6

[nntien]

Câu 4

x là số thú vị $\Leftrightarrow$ $x^{2} - x = x(x - 1) \vdots 100$ $\Leftrightarrow x(x - 1)$ chia hết cho 4 và 25. (vì (4, 25) = 1)

$x(x - 1) \vdots 25$ $\Leftrightarrow$ x = 25k hoặc x = 25k + 1 với k là số nguyên.

 

- Nếu x = 25k thì $25k(25k - 1) \vdots 4$ $\Leftrightarrow$ $ k(25k - 1) = k(k -1) + 24k^{2} \vdots 4$

$\Leftrightarrow$ $ k(k -1) \vdots 4$$\Leftrightarrow$ k = 4t hoặc k = 4t + 1 với t là số nguyên

$\Leftrightarrow$ x = 25.4t = 100t hoặc x = 25(4t + 1) = 100t + 25 với t là số nguyên.

 

- Nếu x = 25k + 1 thì $ (25k + 1). 25k \vdots 4$$\Leftrightarrow$ $ (25k + 1)k = 24k^{2} + k(k + 1)\vdots 4$

$\Leftrightarrow k(k + 1) \vdots 4$ $\Leftrightarrow$ k = 4t hoặc k = 4t + 3 với t là số nguyên.

$\Leftrightarrow$ x = 25.4t + 1 = 100t + 1 hoặc x = 25 (4t + 3) + 1 = 100t + 76 với t là số nguyên.

 

x = 100 t thì $1 \leq 100t \leq 2013$ $\Rightarrow 1 \leq t \leq 20$ $\Rightarrow$ có 20 số thỏa mãn.

x = 100t + 25 thì $1 \leq 100t + 25 \leq 2013$ $\Rightarrow 0 \leq t \leq 19$ $\Rightarrow$ có 20 số thỏa mãn.

x = 100t + 1 thì $1 \leq 100t + 1 \leq 2013$ $\Rightarrow 0 \leq t \leq 20$ $\Rightarrow$ có 21 số thỏa mãn.

x = 100t + 76 thì $1 \leq 100t + 76 \leq 2013$ $\Rightarrow 0 \leq t \leq 19$ $\Rightarrow$ có 20 số thỏa mãn.

 

$\Rightarrow$ Trong các số nguyên dương không lớn hơn 2013 có tất cả 20.3 + 21 = 81 số thú vị.

$x=100t$ thêm $t=0$ nữa là đủ, đề bài chấp nhận số 1 là số thú vị!

[PT42]

$x=100t$ thêm $t=0$ nữa là đủ, đề bài chấp nhận số 1 là số thú vị!

x = 100t, t = 0 $\Rightarrow$ x = 0

x = 100t + 1, t = 0 $\Rightarrow$ x = 1

[LNH]

Câu 6: (7 điểm)

CLB du khảo có $n$ thành viên. Năm ngoái CLB đã tổ chức được $6$ chuyến du khảo, mỗi chuyến có $5$ thành viên tham dự. Một thành viên CLB nhận xét rằng hai chuyến du khảo bất kỳ có không quá hai thành viên chung. Hỏi CLB đó có ít nhất bao nhiêu thành viên?

 

Gọi $x_i$ là số chuyến tham gia của thành viên thứ $i$

Suy ra $x_1+x_2+...+x_n=30$

Ta sẽ đếm số bộ (thành viên, chuyến, chuyến) bằng $2$ cách

Cách 1: Với mỗi thành viên có $C_{x_i}^2$ cách chọn $2$ nhóm tham gia

Vậy số bộ cần đếm là $\sum_{i=1}^{n}C_{x_i}^{2}$

Cách 2: Có $C_6^2$ cách chọn $2$ trong $6$ nhóm trên

Mà với $2$ nhóm bất kì có không quá $2$ thành viên chung nên số bộ cần đếm không quá $C_{6}^{2}.2=30$

Từ $2$ cách đếm trên suy ra $\sum_{i=1}^{n}C_{x_i}^{2}$\leq 30$

$\sum_{i=1}^{n}C_{x_i}^{2}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}{2}-15$

Không mất tính tổng quát, giả sử $x_1\geq x_2\geq ...\geq x_n$

Theo bất đẳng thức Chebychev, $\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}{2}\geq \frac{\left ( \sum x_i \right )^2}{2n}=\frac{450}{n}$

Suy ra $\frac{450}{n}-15\leq 30$

Hay $n\geq 10$

Vậy GTNN của $n$ là $10$

[namcpnh]

 

 

Câu 2: (5 điểm)

Cho hàm số $$y=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}-3x-\frac{1}{x}.$$

a) Chứng minh rằng đồ thị hàm số có $3$ điểm cực trị.

b) Viết phương trình parabol đi qua $3$ điểm cực trị đó.

 

 

a) $y'=x-3+\frac{1}{x^2}=\frac{x^3-3x^2+1}{x^2}$

 

$y'=0 <=> x^3-3x^2+1=0$

 

Đặt $f(x)=x^3-3x^2+1$

 

=> $f'(x)=3x^2-6x$

 

$f'(x)=0 <=> \begin{bmatrix} x=0\\ x=2 \end{bmatrix}$

 

Dễ thấy $f(0).f(2)<0$ => PT $f(x)=0$ có 3 nghiệm => ĐPCM.

 

b)Gọi $(x;y)$ là tọa độ của 1 điểm cực trị.

 

Khi đó có hệ $\left\{\begin{matrix} y=\frac{x^2}{2}-3x-\frac{1}{x}\\ x^3-3x^2+1=0 \end{matrix}\right.$

 

<=> $\left\{\begin{matrix} y=\frac{x^2}{2}-3x-\frac{1}{x}\\ x^2-3x+\frac{1}{x}=0 \end{matrix}\right.$ ( vì $x$ khác$0$)

 

$y=\frac{3x^2}{2}-6x$.

 

Vậy Parabol cần tìm là $y=\frac{3x^2}{2}-6x$.

[kfcchicken98]

câu 5, giải luôn cho liền tay

BĐT đã cho tương đương: $\sum \frac{1}{1+a^{3}}\geq \sum \frac{a^{2}}{1+a^{3}}$
có $\frac{1}{1+a^{3}}+\frac{1}{b^{3}+1}+\frac{1}{c^{3}+1}=2-\frac{1}{1+d^{3}}=\frac{2d^{3}+1}{d^{3}+1}\geq \frac{3d^{2}}{d^{3}+1}$
tương tự, rồi cộng vào ra đpcm