Chủ đề này có 5 trả lời

[pinokio119]

Giả sử a,b,c là các số thực không âm thoả mãn

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4$

CMR

0<ab+bc+ca-abc< 2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pinokio119: 27-10-2013 - 20:03

[thuan192]

Giả sử a,b,c là các số thực không âm thoả mãn
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4$
CMR
0<ab+bc+ca-abc< 2

giải 

 

với a,b,c >0 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4$

          => có ít nhất một trong 3 số <1

          => $ab+bc+ca\geq abc$

          => $ab+bc+ca+abc\geq 0$

 Dấu = xảy ra khi (a,b,c)=(2,0,0) và các hoán vị 

Trong 3 số a,b,c tồn tại 2 trong 3 số cùng $\geq 1 hoặc\leq 1$

 giả sử 2 số đó là a,c thì

    $\left ( a-1 \right )\left ( c-1 \right )\geq o$ <=> $ac+1\geq a+c$

               <=> $abc+b\geq ab+bc$

 ta cần cm: $2\geq ac+b$ theo gt thì 

                $a^{2}+c^{2}+b\left ( ac+b \right )=4$

 =>$2ac+b\left ( ac+b \right )\leq 4$

  <=>$\left ( b+2 \right )\left ( ac+b-2 \right )\leq 0$

 Do đó $ac+b\leq 2$ suy ra đpcm

 dấu = xảy ra khi a=b=c=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thuan192: 27-10-2013 - 22:28

[pinokio119]

với a,b,c >0 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4$

          => có ít nhất một trong 3 số <1

          => $ab+bc+ca\geq abc$

          => $ab+bc+ca+abc\geq 0$

 Dấu = xảy ra khi (a,b,c)=(2,0,0) và các hoán vị 

Trong 3 số a,b,c tồn tại 2 trong 3 số cùng $\geq 1 hoặc\leq 1$

 giả sử 2 số đó là a,c thì

    $\left ( a-1 \right )\left ( c-1 \right )\geq o$ <=> $ac+1\geq a+c$

               <=> $abc+b\geq ab+bc$

 ta cần cm: $2\geq ac+b$ theo gt thì 

                $a^{2}+c^{2}+b\left ( ac+b \right )=4$

 =>$2ac+b\left ( ac+b \right )\leq 4$

  <=>$\left ( b+2 \right )\left ( ac+b-2 \right )\leq 0$

 Do đó $ac+b\leq 2$ suy ra đpcm

 dấu = xảy ra khi a=b=c=1

 

Mặc dù ko hiểu nhưng vẫn thanks

[thuan192]

Mặc dù ko hiểu nhưng vẫn thanks

Bạn k hiểu chỗ nào z? bạn nói thử để mình giải đáp

[nguyenqn1998]

 

Giả sử a,b,c là các số thực không âm thoả mãn

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4$

CMR

0<ab+bc+ca-abc< 2

từ giả thiết tồn tại 2 số cùng lớn hơn 1 hoặc nhỏ hơn 1. Giả sử b,c là hai số đó => $(b-1)(c-1) \geq 0$

ta có $a=\frac{\sqrt{(4-b^2)(4-c^2)}-bc}{2}$

=> $ab+bc+ca-abc=-a(b-1)(c-1)+a+bc \leq a+bc=\frac{\sqrt{(4-b^2)(4-c^2)}-bc}{2}\leq \frac{\sqrt{(4-b^2+b^2)(4-c^2+c^2)}}{2}=2$ (BDT C.S)

[pinokio119]

từ giả thiết tồn tại 2 số cùng lớn hơn 1 hoặc nhỏ hơn 1. Giả sử b,c là hai số đó => $(b-1)(c-1) \geq 0$

ta có $a=\frac{\sqrt{(4-b^2)(4-c^2)}-bc}{2}$

=> $ab+bc+ca-abc=-a(b-1)(c-1)+a+bc \leq a+bc=\frac{\sqrt{(4-b^2)(4-c^2)}-bc}{2}\leq \frac{\sqrt{(4-b^2+b^2)(4-c^2+c^2)}}{2}=2$ (BDT C.S)

có vẻ hiểu rồi ^^