Chủ đề này có 3 trả lời

[Tonytinh80]

câu 1: Cho không gian Metric (X,d) và các tập A,B khác rõng, trong đó A compact. Chứng minh tồn tại điểm x0 thuộc A sao cho d(x0,B)=d(A,B).

ai giúp dùm bài này tôi bó tay rồi!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tonytinh80: 28-10-2013 - 17:35

[funcalys]

Ta có:

$\inf_{x\in \partial A,y\in B} d(x,y)\leq \inf_{x\in \partial A, z\in A} d(x,z)+ \inf_{z\in A,y\in B} d(z,y)$

Do A compact nên A đóng, ta có bđt trên tương đương:

$d(\partial A,B)\leq d(A,B)$

Mặt khác:

$\inf_{x\in A,y\in B}d(x,y)\leq d_{z\in \partial A}(z,B)$

Nên 

$d(\partial A,B)= d(A,B)$

Vậy tồn tại $x_0 \in A$ thỏa đề bài

[bangbang1412]

Ta có:

$\inf_{x\in \partial A,y\in B} d(x,y)\leq \inf_{x\in \partial A, z\in A} d(x,z)+ \inf_{z\in A,y\in B} d(z,y)$

Do A compact nên A đóng, ta có bđt trên tương đương:

$d(\partial A,B)\leq d(A,B)$

Mặt khác:

$\inf_{x\in A,y\in B}d(x,y)\leq d_{z\in \partial A}(z,B)$

Nên 

$d(\partial A,B)= d(A,B)$

Vậy tồn tại $x_0 \in A$ thỏa đề bài

    à em lm sai rồi , cho em hỏi cái $\partial A$ là gì ạ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 03-11-2013 - 20:24

[fghost]

Bài này trong topo mới phải.

 

Với mọi $b \in B$ cố định. Xét hàm $f: A \rightarrow R$ với $f(a)=d(a,b)$. Hàm $f$ liên tục, vì với mọi $\varepsilon >0$, $|d(a,b)-d(a',b)| \leq d(a,a') < \varepsilon.$ Vì $A$ compact, nên hàm $f$ sẽ đạt inf ở $x_0$ nào đó. Như vậy, $d(A,b)=d(x_0,b)$.

 

Lấy inf hay bên ta được $d(A,B)=\text{inf}\{d(A,b): b \in B\}=\text{inf}\{d(x_0,b): b\in B\}=d(x_0,B).$