Chủ đề này có 13 trả lời

[Thao Hien]

1) giải hệ $\left\{\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-\frac{1}{y}}=2 & & & \\ \frac{1}{\sqrt{y}}+\sqrt{2-\frac{1}{x}}=2 & & & \end{matrix}\right.$

2)Giả sử x,y,z là các số dương thay đổi và thoả mãn điều kiện $xy^{2}z^{2}+x^{2}z+y=3z^{2}$ Tìm max P= $\frac{z^{4}}{1+z^{4}(x^{4}+y^{4})}$

3)Cho 3 số a,b,c thoả mãn 0$\leq a\leq b\leq c\leq$1. Tìm max B=(a+b+c+3)($\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}$)

4) Giải pt: $\sqrt{x-2}+\sqrt{y+2009}+\sqrt{z-2010}=\frac{1}{2}(x+y+z)$

5)Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác có 3 góc nhọn. Chứng minh rằng với mọi số thực x,y,z ta luôn có : $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}>\frac{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

[Zaraki]

1) giải hệ $\left\{\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-\frac{1}{y}}=2 & & & \\ \frac{1}{\sqrt{y}}+\sqrt{2-\frac{1}{x}}=2 & & & \end{matrix}\right.$

Gợi ý. $PT(1)-PT(2)=(y-x) \cdot A$ với $A > 0$.

[nghiemthanhbach]

1) giải hệ $\left\{\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-\frac{1}{y}}=2 & & & \\ \frac{1}{\sqrt{y}}+\sqrt{2-\frac{1}{x}}=2 & & & \end{matrix}\right.$

2)Giả sử x,y,z là các số dương thay đổi và thoả mãn điều kiện $xy^{2}z^{2}+x^{2}z+y=3z^{2}$ Tìm max P= $\frac{z^{4}}{1+z^{4}(x^{4}+y^{4})}$

3)Cho 3 số a,b,c thoả mãn 0$\leq a\leq b\leq c\leq$1. Tìm max B=(a+b+c+3)($\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}$)

4) Giải pt: $\sqrt{x-2}+\sqrt{y+2009}+\sqrt{z-2010}=\frac{1}{2}(x+y+z)$

5)Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác có 3 góc nhọn. Chứng minh rằng với mọi số thực x,y,z ta luôn có : $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}>\frac{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Câu 5 mình nghĩ phải là: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}>\frac{x^2+y^2+z^2}{2(a^2+b^2+c^2)}$

[Thao Hien]

Câu 5 mình nghĩ phải là: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}>\frac{x^2+y^2+z^2}{2(a^2+b^2+c^2)}$

Đúng đề rồi bạn

[Thao Hien]

Gợi ý. $PT(1)-PT(2)=(y-x) \cdot A$ với $A > 0$.

Khó hiểu quá

[neversaynever99]

Bài 4ĐK: bạn tự tìm

Ta có

$\sqrt{x-2}+\sqrt{y+2009}+\sqrt{z-2010}=\frac{1}{2}(x+y+z)$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{x-2}+2\sqrt{y+2009}+2\sqrt{z-2010}=x+y+z$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x-2}-1)^{2}+(\sqrt{y+2009}-1)^{2}+(\sqrt{z-2010}-1)^{2}=0$

Tới đây ngon rồi

[nghiemthanhbach]

1) giải hệ $\left\{\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-\frac{1}{y}}=2 & & & \\ \frac{1}{\sqrt{y}}+\sqrt{2-\frac{1}{x}}=2 & & & \end{matrix}\right.$

2)Giả sử x,y,z là các số dương thay đổi và thoả mãn điều kiện $xy^{2}z^{2}+x^{2}z+y=3z^{2}$ Tìm max P= $\frac{z^{4}}{1+z^{4}(x^{4}+y^{4})}$

3)Cho 3 số a,b,c thoả mãn 0$\leq a\leq b\leq c\leq$1. Tìm max B=(a+b+c+3)($\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}$)

4) Giải pt: $\sqrt{x-2}+\sqrt{y+2009}+\sqrt{z-2010}=\frac{1}{2}(x+y+z)$

5)Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác có 3 góc nhọn. Chứng minh rằng với mọi số thực x,y,z ta luôn có : $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}>\frac{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Theo mình câu 3 phải là min mới đúng

Áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có:

$(a+b+c+3)(\sum \frac{1}{a+1})\geq (a+b+c+3)(\frac{9}{a+b+c+3})=9$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nghiemthanhbach: 29-10-2013 - 21:33

[Thao Hien]

Theo mình câu 3 phải là min mới đúng

Áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có:

$(a+b+c+3)(\sum \frac{1}{a+1})\geq (a+b+c+3)(\frac{1}{a+b+c+3})=1$

max đó. Mà lúc đầu nhìn mình tưởng min =9

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thao Hien: 29-10-2013 - 21:30

[Viet Hoang 99]

 

 

Theo mình câu 3 phải là min mới đúng

Áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có:

$(a+b+c+3)(\sum \frac{1}{a+1})\geq (a+b+c+3)(\frac{9}{a+b+c+3})=9$

Mình đã đọc ở đâu đó max =10 thì phải

 

[Zaraki]

1) giải hệ $\left\{\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-\frac{1}{y}}=2 & & & \\ \frac{1}{\sqrt{y}}+\sqrt{2-\frac{1}{x}}=2 & & & \end{matrix}\right.$

Lời giải. Ta có $$PT(1)-PT(2)= \dfrac{y-x}{\sqrt{xy} \left( \sqrt{x}+ \sqrt y \right)}+\dfrac{ \sqrt{2xy-x}-\sqrt{2xy-y}}{\sqrt{xy}}= (y-x) \left[ \dfrac{1}{ \sqrt{xy} \left( \sqrt x+ \sqrt y \right)}+ \dfrac{1}{ \sqrt{xy} \left( \sqrt{2xy-x}+ \sqrt{2xy-y} \right)} \right]=0$$

Vậy $x=y$. Từ đó dễ dàng tính được $x,y$.

[Viet Hoang 99]

Lời giải. Ta có $$PT(1)-PT(2)= \dfrac{y-x}{\sqrt{xy} \left( \sqrt{x}+ \sqrt y \right)}+\dfrac{ \sqrt{2xy-x}-\sqrt{2xy-y}}{\sqrt{xy}}= (y-x) \left[ \dfrac{1}{ \sqrt{xy} \left( \sqrt x+ \sqrt y \right)}+ \dfrac{1}{ \sqrt{xy} \left( \sqrt{2xy-x}+ \sqrt{2xy-y} \right)} \right]=0$$

Vậy $x=y$. Từ đó dễ dàng tính được $x,y$.

Tại sao nhân tử kia >0 để dẫn tới $x=y$ vậy
Theo mình làm thế này
Cộng 2 vế PT(1) và PT(2):
$(\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-\frac{1}{x}})+(\frac{1}{\sqrt{y}}+\sqrt{2-\frac{1}{y}})$

Áp dụng bđt Cô si:
$(\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-\frac{1}{x}})^{2}\leq 2(\frac{1}{x}+2-\frac{1}{x})$

=$4$

cmtt...

=>VT$\geq 4$=VP

Dấu = xảy ra khi x=y=1

[Viet Hoang 99]

1) giải hệ $\left\{\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-\frac{1}{y}}=2 & & & \\ \frac{1}{\sqrt{y}}+\sqrt{2-\frac{1}{x}}=2 & & & \end{matrix}\right.$

2)Giả sử x,y,z là các số dương thay đổi và thoả mãn điều kiện $xy^{2}z^{2}+x^{2}z+y=3z^{2}$ Tìm max P= $\frac{z^{4}}{1+z^{4}(x^{4}+y^{4})}$

3)Cho 3 số a,b,c thoả mãn 0$\leq a\leq b\leq c\leq$1. Tìm max B=(a+b+c+3)($\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}$)

4) Giải pt: $\sqrt{x-2}+\sqrt{y+2009}+\sqrt{z-2010}=\frac{1}{2}(x+y+z)$

5)Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác có 3 góc nhọn. Chứng minh rằng với mọi số thực x,y,z ta luôn có : $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}>\frac{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Bài 5 nè nghiemthanhbach

Do a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác nhọn :

$a^{2}<b^{2}+c^{2}$

tương tự...

Có : $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=\frac{2x^{2}}{a^{2}+a^{2}}+\frac{2y^{2}}{b^{2}+b^{2}}+\frac{2z^{2}}{c^{2}+c^{2}}> \frac{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

[Viet Hoang 99]

1) giải hệ $\left\{\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-\frac{1}{y}}=2 & & & \\ \frac{1}{\sqrt{y}}+\sqrt{2-\frac{1}{x}}=2 & & & \end{matrix}\right.$

2)Giả sử x,y,z là các số dương thay đổi và thoả mãn điều kiện $xy^{2}z^{2}+x^{2}z+y=3z^{2}$ Tìm max P= $\frac{z^{4}}{1+z^{4}(x^{4}+y^{4})}$

3)Cho 3 số a,b,c thoả mãn 0$\leq a\leq b\leq c\leq$1. Tìm max B=(a+b+c+3)($\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}$)

4) Giải pt: $\sqrt{x-2}+\sqrt{y+2009}+\sqrt{z-2010}=\frac{1}{2}(x+y+z)$

5)Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác có 3 góc nhọn. Chứng minh rằng với mọi số thực x,y,z ta luôn có : $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}>\frac{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

bài 2: P=$\frac{1}{\frac{1}{z^{4}}+x^{4}+y^{4}}$

Từ gt suy ra:
$xy^{2}+\frac{x^{2}}{z}+\frac{y}{z^{2}}=3$

Đặt $t=\frac{1}{z}$

=>$xy^{2}+x^{2}t+yt^{2}=3$

Áp dụng bđt Bunhiacopski

$9=(xy^{2}+tx^{2}+yt^{2})^{2}\leq (x^{2}+y^{2}+t^{2})(x^{4}+y^{4}+t^{4})\leq (x^{2}+y^{2}+t^{2})\sqrt{3(x^{2}+y^{2}+t^{2})}$

=>$x^{2}+y^{2}+t^{2}\geq 3$

=>P=$\frac{1}{x^{2}+y^{2}+t^{2}}\leq \frac{1}{3}$

Dấu = có khi : $x=y=z=1$

[Viet Hoang 99]

1) giải hệ $\left\{\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-\frac{1}{y}}=2 & & & \\ \frac{1}{\sqrt{y}}+\sqrt{2-\frac{1}{x}}=2 & & & \end{matrix}\right.$

2)Giả sử x,y,z là các số dương thay đổi và thoả mãn điều kiện $xy^{2}z^{2}+x^{2}z+y=3z^{2}$ Tìm max P= $\frac{z^{4}}{1+z^{4}(x^{4}+y^{4})}$

3)Cho 3 số a,b,c thoả mãn 0$\leq a\leq b\leq c\leq$1. Tìm max B=(a+b+c+3)($\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}$)

4) Giải pt: $\sqrt{x-2}+\sqrt{y+2009}+\sqrt{z-2010}=\frac{1}{2}(x+y+z)$

5)Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác có 3 góc nhọn. Chứng minh rằng với mọi số thực x,y,z ta luôn có : $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}>\frac{2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Câu 3 nhìn trong nâng cao pt toán 9 rồi. Bây giờ xem lại nhưng nó có 1 cách rất dài và 1 cách không tự nhiên. Mình xin làm cách sau:

Đặt $a+1=x$;$b+1=y$;$c+1=z$
=>$B=(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=3+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}$

Do $0\leq a\leq b\leq c\leq 1 =>1\leq x\leq y\leq z\leq 2$

$=>(1-\frac{x}{y})(1-\frac{y}{z})\geq 0 =>1+\frac{x}{z}\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{z}$

và $(1-\frac{z}{y})(1-\frac{y}{x})\geq 0 => 1+\frac{z}{x}\geq \frac{z}{y}+\frac{y}{x}$

Cộng theo vế 2 pt trên và cùng cộng vào 2 vế $(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})$
$=>\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\leq 2+2(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})$$=>B\leq 5+2(\frac{x}{z}+\frac{z}{x})$

Do $1\leq x\leq z\leq 2$
$=>\frac{1}{2}\leq \frac{x}{z}< 2$
$=>(\frac{1}{2}-\frac{x}{z})(2-\frac{x}{z})\leq 0$
$=>1+\frac{x^{2}}{z^{2}}\leq \frac{2x}{z}+\frac{x}{2z}$
$=>\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\leq 2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$ (Nhân 2 vế với $\frac{z}{x}$)

Dấu = xảy ra khi x=1;z=2