3 replies to this topic

[cuongcute1234]

Cho a,b,c>0. Khẳng định hay phủ định bất đẳng thức sau:

$\frac{a^{3}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{3}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{a+b+c}{2}$ 

 

[nam8298]

khẳng định bạn ạ

[nguyenqn1998]

Cho a,b,c>0. Khẳng định hay phủ định bất đẳng thức sau:

$\frac{a^{3}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{3}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{a+b+c}{2}$ 

mình xin dc chứng minh:

Ta có: $\frac{a^{3}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{3}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum{ab(a+b)}}\geq\frac{(a+b+c)^4}{9(\sum{ab(a+b)})}$

mà ta có $2(a+b+c)^3 \geq 9(\sum{ab(a+b)})$ (khai triển là chứng minh dc)

=> dpcm

Edited by nguyenqn1998, 30-10-2013 - 20:11.

[viphuongngoc]

Giả sử    $a\geq b\geq c$

 

ta suy ra    $\frac{a^2}{b^2+c^2}\geq \frac{b^2}{c^2+a^2}\geq \frac{c^2}{a^2+b^2}$

 

Áp dụng BĐT Trê bư sép cho 2 dãy số trên ta có

 

$\frac{a^{3}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{3}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}\left ( \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}} \right )$

 

Dùng bđt Nesbitt ta cm được     $\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{3}{2}$

 

Vậy ta có     

$\frac{a^{3}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{3}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{a+b+c}{2}$

Edited by viphuongngoc, 05-11-2013 - 11:19.