Chủ đề này có 2 trả lời

[Kapas]

Cho $0< a,b,c\leq 1$.CMR

$\frac{1}{a+b+c}\geq \frac{1}{3}+(1-a)(1-b)(1-c)$

 

[trandaiduongbg]

Cho $0< a,b,c\leq 1$.CMR

$\frac{1}{a+b+c}\geq \frac{1}{3}+(1-a)(1-b)(1-c)$

Lời giải:

Ta có: $3(1-a)(1-b)(1-c)\leq \sum \frac{1-a}{1+b+c}$

Thật vậy:

Bài toán cần chứng minh

$\Longleftrightarrow$ $\sum \frac{1}{(1+b+c)(1-b)(1-c)} \geq 3$

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có :

$\frac{1}{(1+b+c)(1-b)(1-c)} \geq \frac{1}{(\frac{1+b+c+1-b+1-c}{3})^3}=1$

Từ đây ta có điều phải chứng minh

 

Lại có:  $\sum \frac{1-a}{1+b+c} \leq \sum \frac{1-a}{a+b+c}=\frac{3}{a+b+c}-1$

Từ đây dễ dàng suy ra đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trandaiduongbg: 01-11-2013 - 21:38

[thuan192]

Cho $0< a,b,c\leq 1$.CMR

$\frac{1}{a+b+c}\geq \frac{1}{3}+(1-a)(1-b)(1-c)$

 

 

Lời giải:

Ta có: $3(1-a)(1-b)(1-c)\leq \sum \frac{1-a}{1+b+c}$

Thật vậy:

Bài toán cần chứng minh

$\Longleftrightarrow$ $\sum \frac{1}{(1+b+c)(1-b)(1-c)} \geq 3$

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có :

$\frac{1}{(1+b+c)(1-b)(1-c)} \geq \frac{1}{(\frac{1+b+c+1-b+1-c}{3})^3}=1$

Từ đây ta có điều phải chứng minh

 

Lại có:  $\sum \frac{1-a}{1+b+c} \leq \sum \frac{1-a}{a+b+c}=\frac{3}{a+b+c}-1$

Từ đây dễ dàng suy ra đpcm.

 

Theo mình thì giả thiết nên sửa lại thành 0<a,b,c<1 .vì nếu  $0< a,b,c\leq 1$ thì bài làm của  trandaiduongbg sẽ không chỉnh xác

vì $\Longleftrightarrow$ $\sum \frac{1}{(1+b+c)(1-b)(1-c)} \geq 3$ sẽ không xác định với một trong 3 số bằng 1